1樓：匿名使用者
^(1)
所求面積為
s=∫[θ=0,2π]0.5r^2dθ
=∫[θ=0,2π]0.5r^2dθ
=∫[θ=0,2π]0.5(2a(1+cosθ))^2dθ=0.5*4a^2(6*2π+8sin(2π)+sin(4π))/4=6πa^2
(2)因為所考慮的區域關於極軸對稱
只算上半部分面積即可
當0≤θ≤π/3時
2cosθ≥1
這部分就是單位圓的扇形
面積：s1=π/6
當π/3≤θ≤π/2時
2cosθ≤1
這部分面積：
s2=∫[θ=π/3,π/2]0.5r^2dθ=∫[θ=π/3,π/2]2(cosθ)^2dθ=2(π/2-π/3+0-sin(π/3)cos(π/3))/2=π/6-√3/4
所求面積為
2s1+2s2=2π/3-√3/2
二重積分的計算步驟是怎麼把兩個積分化成一個的
2樓：匿名使用者
先對y積分，此bai時x相對y為常數，得到du結果後代入被積zhi函式再對x積分，參考下dao圖：
在空間直專角座標系中，二重積屬分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
擴充套件資料
二重積分意義
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
幾何意義
在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
例如二重積分：
其中表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積。
數值意義
二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
3樓：demon陌
先對y積分，此時x相對
來自y為常數，得到結果後bai代入被積函式再對dux積分，參考下圖：
zhi在空間直角座標系中dao，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
4樓：匿名使用者
先對y積分，此時x相對y為常數，得到結果後代入被積函式再對x積分，參考下圖：
定積分與二重積分
5樓：匿名使用者
其實用二重積分求平面內任意圖形的面積是一個通用的方法！利用定積分求平面面積其實就是由二重積分推導來的！
說得更具體些，當所求圖形向x或y軸投影時，其邊界點是一常數時用定積分的方法好一些，本質上也可用二重積分（解二重積分時你會發現化為一重積分時和你列出的一重積分是一樣的）可以試一試，其實都一樣的
6樓：匿名使用者
如果所求面積只是xoy平面直角座標系的可用定積分來計算面積，如果所求面積是空間座標系其中一個座標面的一部分，可用二重積分計算，此時被積函式為1，積分割槽域為所求面積包含的區域。
7樓：戈仁秦琬
因為x^2*sinx關於x是奇函式，積分割槽域d關於y軸對稱所以∫∫x^2sinxdxdy=0
所以原式=∫∫dxdy
就是d的面積=2
利用二重積分計算定積分？
8樓：lyc倫敦穆勒
二重積分的計算
對於高數的學習，很多同學都已經基本完成。在此，對二重積分部分計算的題型進行簡要總結。
1.對二重積分性質的考察
簡單來說，就是基本的二重積分可加性和線性的考察。這部分本身知識點並不複雜，需要注意的是相關的不等式。
例如下面關於絕對值積分不等式（與定積分的積分不等式類似）：
2.關於積分中對稱性的運用
簡單來說，如果積分割槽域關於x軸對稱，那麼此時就需要看被積函式關於y是奇函式還是偶函式；運用偶倍奇零的法則。反之亦然。
需要說明的一點就是積分的對稱性運用需要看兩點：一個是被積函式 ，另一個是積分割槽域。缺一不可。
還有一部分就是輪換對稱性。這部分通常解答題目時也較為常見。為了方便。。。我將截圖說明：
9樓：巴山蜀水
分享一種解法。∵(x^p-x^q)/lnx=∫(q,p)x^ydy，∴∫(0,1)(x^p-x^q)dx/lnx=∫(q,p)dy∫(0,1)(x^y)dx。
而，∫(0,1)(x^y)dx=1/(y+1)，∴原式=∫(q,p)dy/(1+y)=ln[(1+p)/(1+q)]。故，選c。
供參考。
10樓：基拉的禱告
亂七八糟答案真多……詳細過程如圖rt……希望能幫到你解決問題
求面積什麼情況下用定積分 什麼情況下用二重積分 10
11樓：匿名使用者
你可以嘗試用二重積分來計算定積分，你會發現後又變回定積分了。因為xy中有個一是常數。
12樓：匿名使用者
1直接法：利用常見函式的值域
來求一次函式y=ax+b(a 0)的定義域為r，值域為r；
反比例函式 的定義域為,值域為；
二次函式的定義域為r
當a>0時，值域為；
當a<0時，值域為
定積分和重積分都可以計算函式圍成的面積，兩個的用法有什麼區別？該...
13樓：地府閻羅
定積分是一條曲線與x或y軸維持的面積，而二重則是滿足條件的那一塊的面積，總之二重積分算面積比較好
14樓：匿名使用者
。。。。。。。。。有可比性麼。。。。。。。。。
誰能清楚的告訴我二重積分到底怎麼算
15樓：止玉花奚珍
把二重積分化成二次積分，也就是把其中一個變數當成常量比如y，然後只對一個變數積分，得到一個只含y的被積函式，再對y積分就行了。你可以找一本高等數學書看看。。
你這個題目積分割槽域中，x,y並不成函式關係，要是積分割槽域是由比如說1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所圍成的話，那麼就要先對y積分其中上下限就是f(x),g(x),要看誰的圖形在上誰就是上限，這時候的x就當做一個常數來看待（只含有x的項可以像提出常數一樣提到積分號外面來）。這個第一次積分得到一個關於x的函式（這個結果是第二次積分的表示式），然後再對x積分，這時候上下限就是2和1。這樣就得到積分值了。
16樓：匿名使用者
你這樣看
寫成∫∫e^-(u+2v) dudv, 上下限x~0,y~0 就可以
二重積分怎麼計算？
17樓：人設不能崩無限
化為二次積分。
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
18樓：wuli都靈
把二重積分化成二次積分，也就是把其中一個變數當成常量比如y，然後只對一個變數積分，得到一個只含y的被積函式，再對y積分就行了。你可以找一本高等數學書看看。
你這個題目積分割槽域中，x、y並不成函式關係，要是積分割槽域是由比如說1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所圍成的話，那麼就要先對y積分其中上下限就是f(x)、g(x)，要看誰的圖形在上誰就是上限，這時候的x就當做一個常數來看待。
19樓：黃徐升
r1 對應圓弧，所以 r1=2 ，
r2 對應的是 y=2 這條直線，寫成極座標就是 r*sin(θ)=2 ，所以 r=2/sin(θ)
20樓：椋露地凜
利用極座標計算二重積分，有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中積分割槽域是一樣的。 i=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x2 積分割槽域d即為直線y=x,和直線y=x2在區間[0，1]所圍成的面積，轉換為極座標後，θ的範圍為[0,π/4],下面計算r的範圍：因為y=x2的極座標方程為：
rsinθ=r2cos2θ r=sinθ/cos2θ 因為直線y=kx和曲線y=x2的交點為(0,0),(k,k2),所以在極座標中r的取值範圍為[0,sinθ/cos2θ],則積分i化為極座標的積分為 i＝∫dθ∫1/√(rcosθ)2+(rsinθ)2rdr =∫dθ∫dr (θ範圍[0,π/4],r範圍[0,sinθ/cos2θ]) =∫(sinθ/cos2θ)dθ(θ範圍[0,π/4]) =∫(-1/cos2θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ範圍[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
21樓：愽
這是利用了二重積分的性質，二重積分可以化為兩個一重積分，因此①式中先對y變數求積分，這時x變數對於y變數來說是常數，所以對y的函式求得原函式後帶入積分限，即可將①式轉化為②式
22樓：漪善幽雪
利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現的。
一、利用直角座標計算二重積分
我們用幾何觀點來討論二重積分 的計算問題。
討論中,我們假定 ；
假定積分割槽域可用不等式 表示,
其中, 在上連續。
據二重積分的幾何意義可知,的值等於以為底,以曲面為頂的曲頂柱體的體積。
在區間上任意取定一個點,作平行於面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為
一般地,過區間上任一點且平行於面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為
利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為
從而有(1)
上述積分叫做先對y,後對x的二次積分,即先把看作常數,只看作的函式,對計算從到的定積分,然後把所得的結果( 它是的函式 )再對從到計算定積分。
這個先對, 後對的二次積分也常記作
在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,匯出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)並不受此條件限制,對一般的(在上連續),公式(1)總是成立的。
例如:計算
解:類似地,如果積分割槽域可以用下述不等式
表示,且函式,在上連續,在上連續,則
(2)顯然,(2)式是先對,後對的二次積分。
二重積分化二次積分時應注意的問題
1、積分割槽域的形狀
前面所畫的兩類積分割槽域的形狀具有一個共同點:
對於i型(或ii型)區域, 用平行於軸(軸 )的直線穿過區域內部,直線與區域的邊界相交不多於兩點。
如果積分割槽域不滿足這一條件時,可對區域進行剖分,化歸為i型(或ii型)區域的並集。
2、積分限的確定
二重積分化二次積分, 確定兩個定積分的限是關鍵。這裡,我們介紹配置二次積分限的方法 -- 幾何法。
畫出積分割槽域的圖形(假設的圖形如下 )
在上任取一點,過作平行於軸的直線,該直線穿過區域,與區域的邊界有兩個交點與,這裡的、就是將,看作常數而對積分時的下限和上限；又因是在區間上任意取的,所以再將看作變數而對積分時,積分的下限為、上限為。
【例1】計算,其中是由軸,軸和拋物線在第一象限內所圍成的區域。
類似地,
【例2】計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區域。
【例3】求由曲面及所圍成的立體的體積。
解: 1、作出該立體的簡圖, 並確定它在面上的投影區域
消去變數得一垂直於面的柱面 ,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區域就是該柱面在面上所圍成的區域
2、列出體積計算的表示式
3、配置積分限, 化二重積分為二次積分並作定積分計算
而 由,的對稱性有
所求立體的體積為
二、利用極座標計算二重積分
1、變換公式
按照二重積分的定義有
現研究這一和式極限在極座標中的形式。
用以極點為中心的一族同心圓 以及從極點出發的一族射線 ,將剖分成個小閉區域。
除了包含邊界點的一些小閉區域外,小閉區域的面積可如下計算
其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。
(數學上可以證明: 包含邊界點的那些小閉區域所對應項之和的極限為零, 因此, 這樣的一些小區域可以略去不計)
在小區域上取點,設該點直角座標為,據直角座標與極座標的關係有於是即
由於也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發性的形式
(1)(1)式稱之為二重積分由直角座標變數變換成極座標變數的變換公式,其中,就是極座標中的面積元素。
(1)式的記憶方法:
2、極座標下的二重積分計演算法
極座標系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計算。
【情形一】積分割槽域可表示成下述形式
其中函式, 在上連續。
則【情形二】積分割槽域為下述形式
顯然,這只是情形一的特殊形式( 即極點在積分割槽域的邊界上 )。
故【情形三】積分割槽域為下述形式
顯然,這類區域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分割槽域的內部 ),可剖分成與,而故則
由上面的討論不難發現, 將二重積分化為極座標形式進行計算, 其關鍵之處在於: 將積分割槽域用極座標變數表示成如下形式
下面通過例子來介紹如何將區域用極座標變數來表示。
【例4】將下列區域用極座標變數表示
1、2、
3、ê先畫出區域的簡圖, 據圖確定極角的最大變化範圍；
ë再過內任一點作射線穿過區域,與區域的邊界有兩交點,將它們用極座標表示,這樣就得到了極徑的變化範圍。
注: 本題不能利用直角座標下二重積分計演算法來求其精確值。
利用此題結果可求出著名概率積分 。
而被積函式滿足 ,從而以下不等式
成立，再利用例二的結果有,,
於是不等式可改寫成下述形式
故當時有 ,
即 。
3、使用極座標變換計算二重積分的原則
(1)、積分割槽域的邊界曲線易於用極座標方程表示( 含圓弧,直線段 )；
(2)、被積函式表示式用極座標變數表示較簡單( 含, 為實數 )。
【例6】計算
解此積分割槽域為
區域的簡圖為
該區域在極座標下的表示形式為
求兩個曲線之間的面積,關於定積分的
首先,算出這兩條曲線的交點 其次,對這兩個函式的差做定積分,積分割槽間就是交點的橫座標 最後,所得的值取絕對值,就是這兩條曲線之間的面積。求由兩個函式圍成的平面圖形的面積,在用定積分是時候,怎麼判斷是那 用上函式減下函式 例如,這個就是用直線減去拋物線 這個是曲線與區間的兩條直線構成的面積哪個大,大...
這兩個圖為何同構,如何證明兩個圖是同構的
第一個是一個五邊形和另一個五邊形各個頂點分別連起來 五角星是一個變了形的五邊形 第二個圖形也是兩個五邊形頂點再分別相連。我一會兒看看能不能發圖 g1可視為兩個五邊形abcde與acebd的頂點按字母對應相連.對g2的頂點如上圖適當編號,同樣為兩個五邊形abcde與acebd的頂點按字母對應相連.由此...
Excel如何用函式計算兩個數字之間的距離有多大
兩個數字之間的距離出現就在什麼位置？單元格里面 同一行 或同一列 直接使用 運算求差，例如 a1 b1 在excel中怎樣用countif或其他函式計算在兩個數值之間的數的個數 1 以excel2010版本為例，如下圖，要計算該列資料介於5和25之間的數的個數 2 首先，在單元格里輸入countif...