1樓：匿名使用者
地圖四色定理，四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。四色問題的內容是：「任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。
」用數學語言表示，即「將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。」
電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。美國伊利諾大學哈肯在2023年著手改進「放電過程」，後與阿佩爾合作編制一個很好的程式。就在2023年6月，他們在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明，轟動了世界。
四色定理的非計算機證明：龐加萊定理的一個應用
本文在原有的拓樸學、圖論、及著色理論的基礎上增加了一些必不可少的公理、定理及定義，從而建立了在著色問題上比較完善的理論系統，並採用了一些新的方法，證明了球面上及平面上平面圖的四色定理。即在球面或平面上對於任何平面圖有x(g)≤4。
一、 引 言
四色定理之所以長期得不到理論性而非計算機進行的證明，主要就是因為沒有建立起一個既簡要而又完善的理論系統。下面所列出的公理、定理、定義大都是證明四色定理所需要的，其中絕大部分都是原來拓樸學和圖論和著色理論中已有的，極少是新增加的。
在「球面」或「平面」上在著色問題中的最重要的特點就是任何「圈」在「球面」或「平面」上的「阻斷」作用。同樣「圈」在所有「簡單多面體」上也有這樣的「阻斷」作用。但在「非簡單多面體」上有些「圈」就不再具有這種「阻斷」作用，本文正是利用了這一特點證明了「四色定理」。
另一方面，數學家尤拉在證明「尤拉公式」v+f–e=2（其中v是
「簡單多面體」的頂點數，e是「稜數」f是「面數」）採用了逐步「去線」「去面」「去點」的方法，而本文采用的是先「添線」然後再逐步「去點」與「去線」…反覆進行，最終完成了證明。這兩種方法雖然不完全相同但卻有相似之處。
二、預 備
公理1：任何直達的（直接相連線的）兩點，必須採用不相同的顏色。（注：本文均採用「點著色」的方法）
公理2：任何不能直達的兩點可以採用相同的顏色著色。
公理3：在「平面」或「球面」上任何一個「封閉圈」（指若干條首尾相連的「線」所構成的圖形）都可將「平面」或「球面」「分斷隔離」成為不能直達的兩部份，即這一部份內（即這個「圈」內）的點必須經過「封閉圈」（以後簡稱為「圈」）上的點才能到達另一部份內（即這個「圈」外）的點（在著色問題中，「線」與「線」之間是不能交叉的。因為如果「線」與「線」之間交叉則它們顯然不能處於同一「平面」或「球面」上了。
公理4：在「環面」（形如普通的救生圈）上有些「封閉圈」是不能起到「分斷隔離」的作用的。即「圈」一側的「點」可以不必非要通過「圈」上的點就可以到達「圈」的另一側的點。
（這種「環面」實際上是「七可著色」的，但本文不加以討論）
定理1：每一個沒有三角形的可平面圖是3可著色的（即x（g）≤3）
（注：本文中凡未加證明的定理均為「拓撲學」及「圖論」中已有的定理，例如本文中的定理1、定理2、定理3、等。另外本文中所列舉的公理也都是各種拓撲學和圖論書中經常採用的，只不過是沒有明確地列舉出來而已）
定理2：一個圖是雙可著色的，當且僅當它沒有「奇圈」。
定理3：在「平面」或「球面」上的完全圖k 的著色數為4。
定義1：一個「奇圈」或「偶圈」內有一些點，則這些點叫作這個圈的「圈內點」。這個「圈」叫作這些點的「點外圈」。
定義2：一個「奇圈」或「偶圈」外有一些點，則這些點叫作這個圈的「圈外點」。
實際上「內」與「外」都是相對而言的。特別是在「球面」上更為明顯。
定義3：一個「奇圈」或「偶圈」上有一些點，則這些點叫作這個圈的「圈上點」。
定義4：如果一個圈內僅有一個點，則這個「圈」稱為這個點的「最小圈」。
定義5：如果去掉了某一個「著色點」之後並不改變原圖的「著色數」，那麼稱這點為「著色可省略點」。
定理4：如果一個圖中僅有一個「圈」及圈內僅有一個點，且這點與「圈上點」都分別相連則這個圖的著色數：x（g）≤4。
證明：如圖（1）abcde……的著色數x（g）≤3（根據定理1）當再加上圈內一點0之後，由於0與圈上所有的點都相連，所以點0必須取與圈上的點顏色都不相同的另一種顏色。故其著色數應再增加一，故有x（g）≤4。
證明完。
圖（1）
定理5：在平面圖中增加一條連線原圖中尚未連線的兩點之間的連線，則新圖的著色數不小於原圖的著色數。
證明：假如這後來被連線的兩點的原來的顏色是不相同的則連線之後也不會改變原來的著色數。假如這兩點原來的著色是相同的，則此時有必要將其中的一個著色點改變為另一種顏色，並對全圖的著色進行重新調整。
這時新圖的著色數仍不會小於原圖的著色數。這是因為假設新圖的著色數小於原圖的著色數，（反證法）設原圖的著色數為n,則新圖的著色數為n-k,，（n、k都是正整數且k 這說明原圖的著色數本來就應該至多是n-k。這與前面的假設原圖的著色數為n相矛盾。因此新圖的著色數小於原圖的著色數是不可能的。 所以在平面圖中增加一條連線原圖中尚未連線的兩點之間的連線，新圖的著色數不小於原圖的著色數。 證明完。 定理6：一個僅有「圈上點」（即既沒有「圈內點」又沒有「圈外點」）的三角剖分圖是3可著色的。即x（g）=3 證明：如圖（2）有圈abcdefg……先對其中的某一個三角形的三個頂點著色。例如對a、b、c三個頂點分別著上第1、第2、第3共三種不同的顏色。 然後對下一個與δabc有公共邊ac的δacd的頂點d著上與b點相同的第2種顏色。然後再對下一個與δacd有公共邊ad的δadf中的頂點f著上與c點相同的第3種顏色。……如此繼續下去，就可以用3種不同的顏色給所有的頂點分別著色。 這就證明了對於這種僅有「圈上點」的三角剖分圖是3可著色的。即x（g）=3 證明完 圖（2） 定理6推論：一個僅有「圈上點」的圖的著色數有x（g）≤3 證明：在原圖的基礎上在圈內再增加若干條連線，使其成為「三角剖分圖」這樣做之後不會減少原圖的著色數（根據定理5）。所以有x（g原）≤x（g新）。但增加了「連線」之後，新圖的著色數 x（g新）=3（根據定理6）。 故有x（g原）≤3 證明完。 定理7：對於任何平面圖有著色數：x（g）≤5（此定理在本文證明四色定理時可以不利用，但若利用此定理則在敘述本文的證明時會更為方便些，此定理在各圖論書中均有證明） 定理8: 任何一個封閉的三維空間,只要它裡面所有的封閉曲線都可以收縮成一個點,這個空間就一定是一個三維圓球。（龐加萊定理） 定理8推論：在「球面」上挖一個「洞」就變成了拓撲學意義上的「平面」了。在「球面」上挖二個「洞」就變成了拓撲學意義上的「圓柱側面」了。 在「球面」上不論挖多少個「洞」都不會改變原來「球面」上的「著色數」。 證明：將有限「平面」的「四周」在空間向外收縮為一點，或將「圓柱」的上下底面都收縮為一個點就也成了三維圓球的球面。（龐加萊定理）所以「平面」「圓柱側面」等曲面在拓撲意義上就是「球面」所以它們的「著色數」也一定相同。 （證明完） 三、四色定理的證明 四色定理：在球面或平面上對於任何平面圖有x（g）≤4 證明：（反證法） 假設四色定理不能成立，即存在某平面圖是必須用5種或5種以上的顏色來著色。即有x（g）≥5，不失一般性，可作一個任意複雜的圖，如圖（3），（注：讀者也可在此嘗試選擇其它任何形狀的圖）其中的實線部分表示全圖的一個很小的區域性圖，虛線部份表示省略了的大部份圖形。 其複雜程度可以由讀者任意構築和想象，但必須是「有限圖」而不應該是「無限圖」。 圖（3） 然後對此圖作以下幾個步驟的處理與分析： 第一步：在保持原圖的所有點與連線的基礎下，再將原圖中尚未相連但卻能夠相連的各點兩兩之間儘可能多地連線起來，（應注意不再增加新的著色點，而僅僅增加連線）直至成為「三角剖分圖」為止。由前面定理5可知這樣處理之後新圖的著色數不會比原圖減少，這一步稱之為「添線」。 第二步：任取圖內某一個「圈內點」及圍繞這點的「最小圈」進行分析。例如我們取的這個「圈內點」為v ，且在「添線」時我們已經連線了v 與v 及v 與v ，並且還連線了v 與v 及v 與v …已經把原圖變成了一個「三角剖分圖」這時v 的「最小圈」就是v —v —v —v —v —v 。 對於這個「區域性圖形」進行著色調整與分析。根據定理4，我們可以把v 的最小「點外圈」安排第 一、第二、第三種顏色進行著色。把v 安排為第四種顏色進行著色。若然後再給所有「圈外的點」都著上顏色，由假設可知其「著色數」x（g）≥5，但由前面的「公理2」和「公理3」可知「圈內點」與「圈外點」不可能直達，故可以把v 這點的著色由原來安排的第四種顏色調整為第五種顏色，再由定義5可知若這時把v 這點連同v 直接相連的所有連線都去掉。 這樣做也並不會減少原圖的「著色數」。（因為v 這點是被它的四周的「最小圈」阻斷隔絕在圈內的，它與「圈外點」的著色是無關的。如果說這樣做減少了原圖的著色數，例如「著色數」從五減少為四，則說明原圖的「著色數」本來就應該是四。 ）這一步稱之為「去點」與「去線」。（這時的v 點是「著色可省略點」，而v 點既然已經去掉，則與它直接相連的各條線，也就自然沒有存在的必要了。因為本文采用的是點著色的方法。 ）第三步：反覆對圖中其它各「圈內點」作第一步的「添線」或第二步的「去點」與「去線」，（可交替或不交替地使用）直至對圖中的任何一點來說都再也沒有「圈內點」可去了為止。最終使它成為一個「三角剖分圖」。 因為「點」在一個又一個地減少，且「圈內點」與「圈外點」是相對而言的。所以最終的結果只能如圖（1）或圖（2），即得到只有一個「圈」且圈內只有一個點的圖（這時「圈內點」與「圈上點」相連）或一個只有「圈上點」的「三角剖分圖」。但這時的「著色數」x（g）≤4。 這顯然與開始的假設x（g）≥5相矛盾，所以一開始的假設x（g）≥5是錯誤的。故在「球面」或「平面」上的著色數有x（g）≤4成立。證明完。 為了便於讀者更好地理解這一證明，讀者可以多自選一些圖形，由簡單到複雜，按照本文中所提供的方法（即證明中的三個步驟）進行反覆試驗和思考，便能夠悟出本證明其中的無比奧妙和正確性。 四、一個細節的說明 為了使讀者更好地瞭解本文的思路，作一點補充說明。本文的主要思路是圍繞著「全圖」中的「區域性圖」的「圈」及「圈內點」，「圈外點」進行分析與處理的。「三角剖分」圖中的「三角」實質上就是由三點構成的「圈」。 如果圖中出現由大於三點所構成的「圈」，則可以通過「添線」的方法使其成為「三角剖分圖」然後再進行分析與處理。如果圖中出現由二點構成的「圈」或出現由一點構成的「圈」（例如出現一個區域包圍了另一個區域的情況），前文中雖然沒有提及，但對於它的分析與處理方法與由三點所構成的「圈」可完全相同。 你是地圖應用發燒友還是開發人員？地圖資料就是從分層向量化開始的，arcgis作為使用者最大的gis桌面，支援各種繪圖！在arcgis中，如何實現將指定範圍內的地圖資料輸出為shp檔案 20 1.如果是制定的地理bai範du圍，比如說是一個框zhi，那麼用這個框來利dao用工具版箱中的clip工具獲取... 會均衡一個彩色影象了，但我還有一個問題想問一下 給一個灰度影象可得到你應該從本質上來理解 直方圖，在數學上是對一個矩陣進行的統計。這個時候，h 如何使用matlab計算彩色影象的顏色直方圖？方法如下 1.將rgb圖象轉為hsv。2.將h分量量化16級，將s分量和v分量分別量化為4級.3.將三個顏色分... 正常，正版的cass使用簡碼識別或編碼引導法也不能夠閉合3點的房屋。需要人工編輯才能閉合。使用 地物編輯 複合線處理 批量閉合複合線 功能進行閉合吧。setpara 高階設定裡簡碼識別房屋自動填充選擇 是 南方cass簡碼識別不能使用，出現如圖情況，什麼原因怎麼解決？簡碼識別不能用，你動手驗證一下。...arcgis 可以自己繪製地圖，然後匯出shp檔案嗎還是
用matlab繪製一幅彩色影象的直方圖時，會生成幾個子灰度直
用CASS簡碼識別時，所繪製的房屋怎麼不能閉合（比如測了房屋的點）