考研數學題積分割槽域為球體的三重積分。利用極座標系

1樓：未來

首先求來積分的時候他是按整個球自體求bai的（注意不是半球），θ是dux軸正方向zhi的夾角，ψ是z軸正方

dao向的夾角，x^2+y^2+z^2=r^2,明顯r的範圍是0~r,

然後又求積分，它把積分割槽域當成對稱了,先認為z沒有確定，然後可以把它當成（1+2+3）倍的x^2的三重積分，也就是（1+2+3)1/3倍的x^2+y^2+z^2的三重積分,由於z只有上半軸，所以再乘以1/2

最後是ψ是z軸正方向的夾角，然後r^2≤rcosψ，所以r的範圍就是那樣的

可以追問，望採納

2樓：

^積分是在整個球體上進行時，用了輪換對稱性，則x^2，y^2，z^2的積分是相等的，

內所以被積函容

數轉化為x^2+y^2+z^2了。接下來的球面座標中，因為積分割槽域是整個球體，圓心在區域內部，根據三個積分變數的幾何意義，θ的範圍是0到2π，φ的範圍是0到π，r的範圍是0到球面半徑r。這個可以直接套用。

教材上應該是有註明：當積分割槽域是球體，且原點在球體內部，則θ的範圍是0到2π，φ的範圍是0到π，r的範圍是0到r(φ,θ)，其中r=r(φ,θ)由球面方程確定，本題中即為r。

第二題中在球體在整個xoy面上的上方，φ是範圍只有一半，0到π/2。r的範圍確定是從原點作射線，找它與球面的交點，很明顯，一個是原點r=0，一個在球面上r=cosφ

3樓：匿名使用者

你可以和直角座標系下的二重積分相比較一下，這樣會更好的理解。如果您還有。也是讓這條線段以原點為中心在被積區域內旋轉，求它長度的最大值。有