1樓:匿名使用者
這道題應該使copy用萊布尼茨收bai斂準則來證明,根據萊布du尼茨收斂準則zhi,如果式子中除去(-1)^(n-1)這一項,dao(也就是序列n^2/(2n^2+1)),如果這個序列是一個單調遞減的收斂序列,那麼在這個序列乘以(-1)^n或者(-1)^(n+1)所形成新序列的級數也是收斂的。顯然原式是一個收斂於1/2的單調遞減序列,符合萊布尼茨收斂準則的前提條件。
如果一定要用柯西收斂準則來證明,那麼竊以為可以先證明一下萊布尼茨收斂準則,會複雜一些,但是這個證明在網上很容易找到。
怎麼證明這個交錯級數條件收斂?
2樓:巴山蜀水
解:設vn=[(-1)^n](√n)/(n-1),un=[(-1)^n]/(√n),
∴lim(n→∞)丨vn/un丨=lim(n→∞)n/(n-1)=1,故,級數∑ vn與級數∑un有相同的斂散性。
而,∑un是交錯級數,滿足萊布尼茲判別法的條件,∴∑un收斂;但∑丨un丨是p=1/2<1的p-級數,發散。
∴∑un條件收斂,∑vn=∑[(-1)^n](√n)/(n-1)條件收斂。
供參考。
3樓:匿名使用者
用萊布尼茨判別法則。
證明單調性即可。
請問級數收斂的判別有哪幾種?
4樓:匿名使用者
1、對於所有級數都適用的根本方法是:柯西收斂準則。因為它的本質是將級數轉化成數列,從而這是一個最強的判別法,柯西收斂準則成立是級數收斂的充分必要條件。
侷限性:有一些數列的特徵太過明顯,可以用更加簡潔的判別法去判別,用柯西收斂原理是浪費時間;另一方面,如果級數本身過於複雜,用柯西收斂準則也未必能很快得到證明。
2、對於正項級數,一個基本但不常用的方法是部分和有界,這同樣是級數收斂的充分必要條件,這是正項級數中最強的判別法之一,侷限性也是顯然的:通常來說一個級數的和函式並不好求,用這種方法行不通,因此這個方法通常只有理論上的意義。
3、對於正項級數,比較判別法是一個相當有效的判別法,通過找一個新正項級數,比較通項,如果原級數的通項小,新級數收斂,則原級數收斂;如果新級數發散,原級數通項大,則原級數發散,通常在判別過程中使用其極限形式。
侷限性:當級數過於複雜時,要找的那個新級數究竟是什麼很難判斷,通常的方法是對原級數的通項做泰勒,以找到與之等價的p級數。
4、對於正項級數,有積分判別法:如果x>=1且f(x)〉=0且遞減,則無窮級數(通項為f(n))與1到正無窮對f(x)作的積分同斂散。這個辦法對於某些級數特別有效。
侷限性:由於其本質是將級數化成了反常積分,如果化成的反常積分的收斂性難以判斷,則有可能該方法就把問題複雜化了。
5、對於正項級數,還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級數與通項為1/(n^alpha)的級數做比較,如果當n充分大時,n(a[n]/a[n+1]-1)〉=r>1,那麼級數收斂。
高斯判別法將級數與通項為1/(n(lnn)^alpha)的級數做比較,如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o(1/nlnn),其中beta〉1,則級數收斂。
侷限性:這兩個判別法已經很強了,大部分級數都可以用這兩個判別法去估計,但是仍然不是全部級數都有效的,如果級數比通項為1/(n(lnn)^alpha)的級數收斂得還慢,就無效了,這時應該去想比較判別法或者其他辦法,可能需要比較強的技巧。
6、對於交錯級數,有萊布尼茲判別法:如果級數符號交替且通項絕對值遞減,則級數收斂。侷限性:如果級數不滿足上述條件,顯然就失效了。
7、一般項級數的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法:
阿貝爾判別法:如果級數的通項可以拆成兩部分的乘積,其中一部分隨下標單調有界,以另一部分為通項的級數收斂,那麼原級數收斂。
狄利克雷判別法:如果級數的通項可以拆成兩部分的乘積,其中一部分隨下標單調趨於零,以另一部分為通項的級數的部分和有界,那麼原級數收斂。
這兩個判別法對於一些通項為兩項以上乘積形式的級數非常有效。侷限性:如果拆不出來,那就沒辦法了。不過通常的題最多就考到這裡,基本上應該可以判別。
5樓:是你找到了我
利用部分和數列判別法、
比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法以及拉貝判別法等。
對於正項級數,比較判別法是一個相當有效的判別法,通過找一個新正項級數,比較通項,如果原級數的通項小,新級數收斂,則原級數收斂;
如果新級數發散,原級數通項大,則原級數發散,通常在判別過程中使用其極限形式。侷限性:當級數過於複雜時,要找的那個新級數究竟是什麼很難判斷,通常的方法是對原級數的通項做泰勒,以找到與之等價的p級數。
6樓:
上面幾樓說的都對,但是都不全。我來說個全一些的。(純手工,絕非copy黨)
首先要說明的是:沒有最好用的判別法!所有判別法都是因題而異的,要看怎麼出,然後才選擇最恰當的判別法。下面是一些常用的判別法:
一、對於所有級數都適用的根本方法是:柯西收斂準則。因為它的本質是將級數轉化成數列,從而這是一個最強的判別法,柯西收斂準則成立是級數收斂的充分必要條件。
侷限性:有一些數列的特徵太過明顯,可以用更加簡潔的判別法去判別,用柯西收斂原理是浪費時間;另一方面,如果級數本身過於複雜,用柯西收斂準則也未必能很快得到證明。
二、對於正項級數,一個基本但不常用的方法是部分和有界,這同樣是級數收斂的充分必要條件,這是正項級數中最強的判別法之一,侷限性也是顯然的:通常來說一個級數的和函式並不好求,用這種方法行不通,因此這個方法通常只有理論上的意義。
三、對於正項級數,比較判別法是一個相當有效的判別法,通過找一個新正項級數,比較通項,如果原級數的通項小,新級數收斂,則原級數收斂;如果新級數發散,原級數通項大,則原級數發散,通常在判別過程中使用其極限形式。侷限性:當級數過於複雜時,要找的那個新級數究竟是什麼很難判斷,通常的方法是對原級數的通項做泰勒,以找到與之等價的p級數。
四、對於正項級數,有柯西判別法和達朗貝爾法。這些樓上都已說到,它的實質是找等比級數與之比較。另外柯西判別法比達朗貝爾判別法強,這是因為比值的下極限小於等於開n次根號的下極限,比值的上極限大於等於開n次根號的上極限(即二樓說的這兩個判別法等同是不對的)。
侷限性:如果原級數的階低於任何一個等比級數,這方法就完全失效了。
五、對於正項級數,有積分判別法:如果x>=1且f(x)〉=0且遞減,則無窮級數(通項為f(n))與1到正無窮對f(x)作的積分同斂散。這個辦法對於某些級數特別有效。
侷限性:由於其本質是將級數化成了反常積分,如果化成的反常積分的收斂性難以判斷,則有可能該方法就把問題複雜化了。
六、對於正項級數,還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級數與通項為1/(n^alpha)的級數做比較,如果當n充分大時,n(a[n]/a[n+1]-1)〉=r>1,那麼級數收斂。高斯判別法將級數與通項為1/(n(lnn)^alpha)的級數做比較,如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o(1/nlnn),其中beta〉1,則級數收斂。
侷限性:這兩個判別法已經很強了,大部分級數都可以用這兩個判別法去估計,但是仍然不是全部級數都有效的,如果級數比通項為1/(n(lnn)^alpha)的級數收斂得還慢,就無效了,這時應該去想比較判別法或者其他辦法,可能需要比較強的技巧。
七、對於交錯級數,有萊布尼茲判別法:如果級數符號交替且通項絕對值遞減,則級數收斂。侷限性:如果級數不滿足上述條件,顯然就失效了。
八、一般項級數的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法:
阿貝爾判別法:如果級數的通項可以拆成兩部分的乘積,其中一部分隨下標單調有界,以另一部分為通項的級數收斂,那麼原級數收斂。
狄利克雷判別法:如果級數的通項可以拆成兩部分的乘積,其中一部分隨下標單調趨於零,以另一部分為通項的級數的部分和有界,那麼原級數收斂。
這兩個判別法對於一些通項為兩項以上乘積形式的級數非常有效。侷限性:如果拆不出來,那就沒辦法了。不過通常的題最多就考到這裡,基本上應該可以判別。
九、絕對收斂性。如果一個級數,以其通項的絕對值為通項的級數收斂,則原級數收斂。侷限性是顯然的:
如果以其通項的絕對值為通項的級數不收斂就無效了。通常的題目上很少會蠢到讓你去求絕對值,然後判斷正項級數的收斂性,從而這個辦法一般只有理論上的意義,除非題中明說讓你去判斷條件收斂性和絕對收斂性。
十、一些技巧。例如裂項求和,再利用數列中的一些性質等等。這類方法通常用於抽象級數,即並不把級數告訴你,只告訴你一些級數的特徵,然後叫你去判斷。
侷限性是顯而易見的:你想得到這樣的技巧麼?
好了,寫了這麼多手都酸了,希望對你有用。
7樓:匿名使用者
先說正項級數的判別法:一,比較判別法 二,比值判別法(達朗貝爾判別法) 三,比值判別法(柯西判別法) 其中二,三等同,即只要二能用則三能用 四,積分判別法(此方法因比較複雜則不常用) 若是一般級數,如交錯級數,可用萊布尼茨定理來判別,也則可用絕對值來判別。一般如果是正項級數的話,二,三比較常用,也好用。
若是一般級數則都先取絕對值,再判別。這些課本上都應該有,樓主可以多看看,希望對你有用
8樓:匿名使用者
比較判別法、d』alembert判別法、cauchy根式判別法以及cauchy積分判別法
其實說到底都是比較判別法~~
有這方面的問題可以聯絡我哦
用萊布尼茨證明交錯級數收斂,這個是指條件收斂嗎
9樓:匿名使用者
萊布尼茲定理證明交錯級數收斂,但並不能區分是條件收斂或絕對收斂,需要另外判斷。例如∑[(-1)^n]/n條件收斂,而∑[(-1)^n]/n^2絕對收斂,但都可以用萊布尼茲定理證明收斂。
請問 柯 字用白話怎么讀，請問 柯 字用白話怎麼讀？
柯字的白話讀音為 k 部首 木 筆畫 9 五筆 sskg 倉頡 dmnr 四角號碼 41920 鄭碼 faj 筆順編號 123412512 結構 左右結構 釋義 1.草木的枝莖 枝 交 錯葉。2.斧子的柄 斧 3.姓。漢字演變 1.伐柯 f k 稱為人做媒。2.豐柯 f ng k 茂盛的大樹。3.操...
柯西不等式的題目，不懂啊，急求解答
已知a b c是互不相等的正數 求證 2 a b 2 b c 2 c a 9 a b c 證明 如果瞭解柯西不等式,那麼很簡單 a b b c c a 1 a b 1 b c 1 c a 9 2 a b 2 b c 2 c a 9 a b c 附證 設2x a b,2y b c,2z c a,則所證...
柯西極限存在準則的充分性怎麼證明？在預習高數，基本只有高三水平，百度百科上的看不懂啊55求大神指
這個任意的 其實指的就是任意小，對於無論多小的 都存在n，當x的角標 m,n n 時，xm 與 xn 之間的距離小於 也就是當 越小，n越大，數列角標越大，但是之間的距離越小，這樣就定然會有個極限，即當 0時，xm xn 柯西極限存在準則的充分性怎麼證明？求數學大神 首先柯西序列是有界的，這個很好證...