1樓：陽光語言矯正學校
數學歸納法（mathematical induction, mi）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者區域性）自然數範圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。
這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和電腦科學領域，稱作結構歸納法[1] 。
在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外）的數學定理。[2]
雖然數學歸納法名字中有「歸納」，但是數學歸納法並非不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。
最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：
證明當n= 1時命題成立。
假設n=m時命題成立，那麼可以推匯出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）
這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推匯出來。
把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：
證明第一張骨牌會倒。
證明只要任意一張骨牌倒了，那麼與其相鄰的下一張骨牌也會倒。
骨牌一個接一個倒下就如同一個值接下一個值
發展歷程編輯
已知最早的使用數學歸納法的證明出現於francesco maurolico的arithmeticorum libri duo（2023年）。maurolico利用遞推關係巧妙地證明出前n個奇數的總和是n^2，由此總結出了數學歸納法。
最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有正整數時一個表示式成立，這種方法是由下面兩步組成：
遞推的基礎：證明當n=1時表示式成立。
遞推的依據：證明如果當n=m時成立，那麼當n=m+1時同樣成立。
這種方法的原理在於第一步證明起始值在表示式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重複不斷進行的過程中。
2樓：
之前有上過一門課叫現代數學與中學數學，老師說到了學生要能夠在認知上接受這個命題，而這個是否成立，是由這個整體決定的，更簡單的說就是這個能否成立，然後還有初值的驗證，這樣對數學歸納法的原理的理解才算完整的.
對於高中生而言，要認識到數學歸納法所建立的是一種傳推關係
然後把數學歸納法看成一個過程，而不是結果，這樣理解會比較好……（怎麼感覺還是不好理解啊）
為什麼數學歸納法證明結論正確
3樓：匿名使用者
數學歸納法常用於與自然數有關的命題的證明。
第一步是證明n=1時成立
第二步是假設n=k時成立 證明n=k+1時成立先來考慮特殊情況：
當已經證明n=1時成立 那麼第二步就是證明n=2成立，於是我們就假設n=1成立 再在此基礎上證明n=2成立，假設n=2成立，用此結論證明n=3成立……以此類推，我們就是想能證明n=k成立時n=k+1也成立。而上述特殊情形正是利用這種規律，所以要先證明n=1時成立。所以數學歸納法證明出來的結論正確。
怎麼證明"數學歸納法"原理的正確性?
4樓：數學好玩啊
數學歸納法和良序公理等價。可以用良序公理證明數學歸納法。
數學歸納法一步兩項問題
5樓：海綿寶寶板磚
數學歸納法解題
數學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.
●難點磁場
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2= (an2+bn+c).
●案例**
〔例1〕試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈n*且a、b、c互不相等時，均有：an+**＞2bn.
命題意圖：本題主要考查數學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.
知識依託：等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟.
錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.
技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恆成立(a、b、c為正數)，從而ak+1+ck+1＞ak•c+ck•a.
證明：(1)設a、b、c為等比數列，a= ,c=bq(q＞0且q≠1)
∴an+**= +bnqn=bn( +qn)＞2bn
(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想 ＞( )n(n≥2且n∈n*)
下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
②設n=k時成立，即
則當n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞ (ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)= (ak+ck)(a+c)
＞( )k•( )=( )k+1
〔例2〕在數列中，a1=1，當n≥2時，an,sn,sn－ 成等比數列.
(1)求a2,a3,a4，並推出an的表示式；
(2)用數學歸納法證明所得的結論；
(3)求數列所有項的和.
命題意圖：本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識.
知識依託：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.採用的方法是歸納、猜想、證明.
錯解分析：(2)中，sk=－ 應捨去，這一點往往容易被忽視.
技巧與方法：求通項可證明是以為首項， 為公差的等差數列，進而求得通項公式.
解：∵an,sn,sn－ 成等比數列，∴sn2=an•(sn－ )(n≥2) (*)
(1)由a1=1,s2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
由a1=1，a2=－ ,s3= +a3代入(*)式得：a3=－
同理可得：a4=－ ,由此可推出：an=
(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.
②假設n=k(k≥2)時，ak=－ 成立
故sk2=－ •(sk－ )
∴(2k－3)(2k－1)sk2+2sk－1=0
∴sk= (舍)
由sk+12=ak+1•(sk+1－ ),得(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk－ )
由①②知，an= 對一切n∈n成立.
(3)由(2)得數列前n項和sn= ,∴s= sn=0.
●錦囊妙記
(1)數學歸納法的基本形式
設p(n)是關於自然數n的命題，若
1°p(n0)成立(奠基)
2°假設p(k)成立(k≥n0)，可以推出p(k+1)成立(歸納)，則p(n)對一切大於等於n0的自然數n都成立.
(2)數學歸納法的應用
具體常用數學歸納法證明：恆等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)•3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈n,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )
a.30 b.26 c.36 d.6
2.(★★★★)用數學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈n)第一步應驗證( )
a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4
二、填空題
3.(★★★★★)觀察下列式子： …則可歸納出_________.
4.(★★★★)已知a1= ,an+1= ,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.
三、解答題
5.(★★★★)用數學歸納法證明4 +3n+2能被13整除，其中n∈n*.
6.(★★★★)若n為大於1的自然數，求證： .
7.(★★★★★)已知數列是等差數列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求數列的通項公式bn;
(2)設數列的通項an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1)記sn是數列的前n項和，試比較sn與 logabn+1的大小，並證明你的結論.
8.(★★★★★)設實數q滿足|q|＜1,數列滿足：a1=2,a2≠0,an•an+1=－qn,求an表示式，又如果 s2n＜3,求q的取值範圍.
參***
難點磁場
解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有
於是，對n=1,2,3下面等式成立
1•22+2•32+…+n(n+1)2=
記sn=1•22+2•32+…+n(n+1)2
設n=k時上式成立，即sk= (3k2+11k+10)
那麼sk+1=sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)
= 〔3(k+1)2+11(k+1)+10〕
也就是說，等式對n=k+1也成立.
綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立.
殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)•3k+1
6樓：電腦輻射vs致癌
我太不懂你的問題，只能找到這些了
數學歸納法是證明與自然數有關的命題的一種方法，應用廣泛．在最近幾年的高考試卷中體現的特別明顯
數學上證明與自然數n有關的命題的一種方法。必須包括兩步：(1)驗證當n取第一個自然數值n=n1(n1=1，2或其他常數)時，命題正確；(2)假設當n取某一自然數k時命題正確，以此推出當n=k+1時這個命題也正確。
從而就可斷定命題對於從n1開始的所有自然數都成立。
數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表示式在所有自然數範圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和電腦科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表示式是等價表示式；這就是著名的結構歸納法。
參考資料
畫畫的第一步要做什麼，學畫畫第一步該幹嘛
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