1樓：你的眼神唯美
泰勒公式乘法天下第一。整體法等價無窮小逆向思維雙向思維。數學工具多多益善如圖所示請採納謝謝。重要極限千篇一律取對數類似題庫集錦大全
2樓：匿名使用者
在高等數學中，我們經常會碰到下列問題，即在求極限時往往會遇到兩個無窮小量之比、兩個無窮大量之比和其他不定式求極限的問題，而求這些形式極限時的一個重要求法就是正確利用兩個重要極限，本文就此提出一些看法.
一、正確掌握兩個重要極限的標準形式是正確使用兩個重要極限的關鍵
兩個重要極限的標準形式是：limx→0sinxx=1，limx→∞1+1xx=e.這裡我們必須抓住自變數的變化趨勢和函式表示式中自變數x的結構形式.
例1求下列函式的極限：
（1）limx→0sinx3x；（2）limx→∞1+1x3x.
在教學中經常發現學生往往會出現下列結果：（1）limx→0sinx3x=1，（2）limx→∞1+1x3x=e.這顯然是錯誤的，（1）中錯誤的原因主要在於錯誤地認為一個無窮小量的正弦函式與任一無窮小量之比的極限均為1，（2）中錯誤的原因在於錯誤地認為1與一個無窮小量之和的無窮大次冪的極限均為e.
事實上，
（1）limx→0sinx3x=13limx→0sinxx=13，（2）limx→∞1+1x3x=limx→∞1+1xx3=e3.
對於兩個重要極限表示式中的「x」在結構形式上應該是表示同一個量，否則就會發生上述錯誤.
例2求下列函式的極限：
（1）limx→∞sinxx；（2）limx→∞1+1xn（n為已知常數）.
學生中常見的錯誤是：（1）limx→∞sinxx=1，（2）limx→∞1+1xn=e.導致這些錯誤的原因為：
（1）中錯誤主要是沒抓住自變數的變化過程，只看函式表達形式；（2）中的錯誤主要是函式表示式中忽略了n為已知常數的條件，把n錯誤地理解為變數x.
事實上，（1）sinx≤1，limx→∞1x=0，根據無窮小量乘有界變數仍為無窮小量，所以limx→∞sinxx=0；（2）limx→∞1+1xn=1，這是因為n是常數，且limx→∞1x=0.
由此可知，在使用兩個重要極限時，必須注意函式的標準形式，又必須注意自變數的變化趨勢.
二、在利用兩個重要極限求極限時，在抓住兩個重要極限特徵的同時，還要善於掌握它們的變形
對於limx→0sinxx=1可變形為limg（x）→0sin（g（x））g（x）=1，也可變形為limx→∞xsin1x=1.
對於limx→∞1+1xx=e可變形為limg（x）→∞1+1g（x）g（x）=e，也可變形為limx→0（1+x）1x=e.
例3求下列函式的極限：
（1）limx→01-cosx2x2；（2）limx→∞xln1+1x.
解（1）原式=limx2→02sin2x28x22=14limx2→0sin2x2x22=14.（2）原式=limx→∞ln1+1xx=lnlimx→∞1+1xx=lne=1.
從這裡我們可以看到在使用重要極限時，可以通過代數的或三角的變換使所求的極限化成兩個重要極限的形式進行求解.
例4求下列函式的極限：
（1）limx→π2cosxπ2-x；（2）limx→0x1-3x.
解（1）原式=limπ2-x→0sinπ2-xπ2-x=1.（2）原式=limx→0（1-3x）1x=limx→0[（1-3x）1-3x]-3=e-3.
三、在利用兩個重要極限時，經常使用變數代換，以使簡化成兩個重要極限的標準形式
例5求下列函式極限：
（1）limx→0sin（sinx）sinx；（2）limx→0（1+tanx）cotx.
解（1）令sinx=t，則原式=limt→0sintt=1.
（2）令tanx=t，則原式=limt→0（1+t）1t=e.
總之，在利用兩個重要極限求解極限時，我們必須善於觀察和分析所求極限函式形式的特點和自變數的變化趨勢，採用適當的方法化成兩個重要極限的標準形式.
第一重要極限什麼時候可以用？是隻有當x趨近於0且是0比0時才可以用嗎？
3樓：匿名使用者
sinx～x，只要是這裡的x趨向於0，都可以，x可以是未知量，也可以是很複雜的表示式，在極限計算中，可用於乘法關係中，不能用於加減法，一般乘法中作為因式，可以整體替換。
等價無窮小代換不是只能在x趨近於0時才能用的等價無窮小確切地說，當自變數x無限接近某個值x0（x0可以是0、∞、或是別的什麼數）時，函式值f（x）與零無限接近，即f（x）＝0（或f（1／x）＝0）。則稱f（x）為當x→x0時的無窮小量。
例如，f（x）＝（x－1）2是當x→1時的無窮小量，f（n）＝1／n是當n→∞時的無窮小量，f（x）＝sinx是當x→0時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。
這裡值得一提的是，無窮小是可以比較的：假設a、b都是lim（x→x0）時的無窮小，如果limb／a＝0，就說b是比a高階的無窮小，記作b＝o（a）
如果lim b/a=∞，就是說b是比a低階的無窮小。
比如b=1/x^2， a=1/x。x->無窮時，通俗的說，b時刻都比a更快地趨於0，所以稱做是b高階。
假如有c=1/x^10,那麼c比a b都要高階，因為c更快地趨於0了。
如果lim b/a^n=常數c≠0（k>0），就說b是關於a的n階的無窮小， b和a^n是同階無窮小。
等價無窮小：從無窮小的比較裡可以知道，如果limb／a＾n＝常數，就說b是a的n階的無窮小，b和a＾n是同階無窮小。
特殊地，如果這個常數是1，且n＝1，即limb／a＝1，則稱a和b是等價無窮小的關係，記作a～b等價無窮小在求極限時有重要應用。
有如下定理：假設lima～a＇、b～b＇則：lima／b＝lima＇／b＇接著我們要求這個極限lim（x→0）。
sin（x）／（x＋3）根據上述定理當x→0時sin（x）～x（重要極限一）x＋3～x＋3，那麼lim（x→0）
sin（x）／（x＋3）＝lim（x→0）x／（x＋3）＝0。
擴充套件資料
用極限思想解決問題的一般步驟：
對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量。
用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。
極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函式的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。
數學分析就是用極限思想來研究函式的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。
極限思想方法，是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是『數學分析』與在『初等數學』的基礎上有承前啟後連貫性的、進一步的思維的發展。
數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由於其採用了『極限』的『無限逼近』的思想方法，才能夠得到無比精確的計算答案。
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