1樓：還沒想好敵
這是很容易證明的，設a1,a2,an構成一向量組，如果這個向量組是線性無關的，則k1a1+k2a2+..knan=0若且唯若k1=k2=..kn=0時成立指大，現在從這個向量組中任取一部分組，an1,an2,anm,如果kn1*an1+..
knm*anm=0,則一定有肢棗kn1=..knm=0,因為如果不是這樣，假設kni≠0,則在原向量歷逗拆組中，取ai的係數ki=kni,其它項的係數kj都取0,一樣有k1a1+k2a2+..knan=0,這就和a1...
an線性無關矛盾了。
2樓：高效生活
從線性無關線性相關的定義出發。
該定義等式k1a1+k2a2+..ksas=0來建立，線性相關無關都陵喊是對係數的討論。
整體線性無關則k1=k2=..ks=0
證明的是部分線性無關，將該等式等式兩邊互換一些項用來構造部分線性無關的定義。
k1a1+k2a2+..ktat=-k(t+1)a(t+1)
即k1a1+k2a2+..ktat=0滿足型性無關的談派定義，所以整體線性無關可以推出部分線性無關。
證畢！該命題還是「部分線性相關，則整體線性相關的逆否命題」，所以兩個可以互推。
如何證明向量組和它的極大無關組等價
3樓：伯賜鄺弘厚
反過來，向量組可以由它的極大無關組。
線性表出：任一向量屬於向量組，這向量或者是極大無關組中的乙個向量，或者不是極大無關組中的向量。
1)如果這向量是極大無關組中的乙個向量，則它必可由極大無關組線性表出；
2)如果這向量不慶巨集是極大無關組中的向量，則由譽絕冊極大無關組的定義中的第2條知，把這個向量添到極大無關組中則組成相關組，(極大無關巨集枝組)自身無關，添(這)個向量後。
相關，則添的這個向量可用(極大)無關組表。
出」。由1)2)證畢。
乙個線性無關向量組可由另乙個向量組表示，如何證明後者向量個數不小於前者？
4樓：聊電子數碼
這事在原理上是這樣的。
乙個n維的向量只能張成乙個秩1的n維空間。兩個n維向量最多隻能張成乙個n維秩2的空間，以此類推，乙個n維的n-1維個向量最多隻能張成乙個n維數n-1秩的空間。當然，任何n+1個n維向量，最多隻能張長乙個n維滿(n)秩的空間。
乙個滿秩的空間一定包含(或覆蓋)所有其它同維的各款秩的空間。但若是兩個不滿秩的空間，即便乙個秩比另乙個的大，秩大的那個也不一定能包含(覆蓋)秩小的那個空間。
比如在三維空間裡，乙個扁平的空間是秩2的，一根直線所在的空間是秩1的，雖然秩1小於秩2，但這根直線不一定非得落在那個扁平空間裡，它完全可以與之正交麼。但反過來，乙個秩1的空間絕對不可能包含乙個秩2的空間，講都不用講，對吧。
好了，如果現在有兩個向量組a,b，它們各自能張成的空間一定都是n維的，但秩不一定一樣。如果a組的向量多，b組向量少，則a組裡線性無關的向量多過b組裡線性無關向量的可能性就大。只要a組裡線性無關的向量比b組裡的多，a組張成的空間的秩就比b組能張成的空間的秩大，b空間要包含或覆蓋a空間就沒機會了。
b可以線表a的另外乙個說法就是b空間包含或覆蓋a空間，既然b秩都小於a秩，b不可能覆蓋a，b就不能線表a。所以，b裡的線性無關的向量必須至少與a裡的一樣多才有機會線表a。
說到這，提問裡埋的乙個坑可以看出來了吧？b組的向量比a組的少就一定不能線表a了麼？非也！
如果b組的向量不如a組的多，但b組裡線性無關的向量比a組的多，b秩就可能大過a秩，b就有機會覆蓋a，也就是能線表a了。
如何證明：無關組的接長向量組必為無關組？
5樓：教育小百科是我
證明過程如同：
乙個向量組的極大線性無關組是其最本質的部分， 對許多問題的研究起著非常重要的作用。如確定矩陣的秩， 討論線性方程組的基礎解系等。
6樓：網友
按照線性無關的定義，如果向量組的線性運算結果為零向量能推出所有係數全為零，就說明它們是線性無關的。
請參考下圖的過程，可以證明線性無關向量組的接長向量組也線性無關，圖中所寫的都是列向量。
7樓：西域牛仔王
是的，因為如果相關，那麼添上任意向量還相關，而整個組是無關的，因此無關組的任意向量組還無關。
如何證明乙個線性無關的向量組的任何乙個部分組也線性無關
8樓：定爾芙賽緯
設a1,a2,..as
是某向量組中的乙個線性無關部分組。
擴充步驟如下：
任取向量組中乙個向量β
考慮向量β是否可由a1,a2,..as線性表示(1)若β可由a1,a2,..as線性表示則放棄此向量。
2)若β不能由a1,a2,..as線性表示則新增此向量得線性無關的部分組a1,a2,..as,a(s+1):=β
這個部分組為什麼線性無關：
設k1a1k2a2+..ksas+kβ=0由於β不能由a1,a2,..as線性表示，所以有k
0所以。k1a1k2a2+..ksas=0.
再由a1,a2,..as
線性無關，k1=k2=...=ks=0
故a1,a2,..as,β
線性無關。如此進行下去，遍歷整個原向量組，得一擴充的部分組：
a1,a2,..ar
滿足：1)線性無關。
2)原向量組中任一向量都可由此部分組線性表示故a1,a2,..ar即為乙個極大無關組。
如何證明4個向量組線性無關
9樓：阮夕迮鸞
4個4維向量，可用它們構成的行列式判斷線性相關性。
行列式=0,則線性相關。
否則線性無關。
也可以構成矩陣，用初等行變換化成階梯形，非零行數即矩陣的秩，亦即向量組的秩。秩。
向量的個數，則線性無關。
否則線性相關。
r1+r3,r2-r4,r4+2r3
r1-2r4,r2-2r4
r2-2r1
交換行。所以。r(α1,α2,α3,α4)=4.
向量組線性無關。
如何證明一組向量線性無關
10樓：身高7公尺
不要被高贊誤導了，線性跟「線」一點關係都沒有。線性運算包含加、減、乘，幾個向量通過有限次的加減乘運算，並相加，和為0，就稱這些向量是線性相關，否則線性無關。
線性無關的向量組中新增分量為什麼還是線性無關
11樓：demon陌
不是增加乙個向量，而是增加分量，即維數增加，如a1->(1,0,0,1),a2->(0,1,0,1)仍然線性無關。相當於只存在零解的齊次線性方程組，增加方程個數，對未知數要求變高，還是隻有零解。
對於任一向量組而言，不是線性無關的就是線性相關的。向量組只包含乙個向量a時，a為0向量，則說a線性相關；若a≠0，則說a線性無關。包含零向量的任何向量組是線性相關的。
含有相同向量的向量組必線性相關。
12樓：西域牛仔王
是你理解錯了。新增分量，是把向量的維數增加，不是增加乙個向量。
a1 = (1，0，0），a2 = (0，1，0)，線性無關，那麼 b1 = (1，0，0，2，3），b2 = (0，1，0，-2，1）仍無關 。
13樓：
你的意思是說n個向量組成的向量組裡面任意1個、2個、3個、..n－1個向量都線性無關？那也無法得到「整個向量組線性無關」的結論！
例如：a1＝（1，1，1），a2＝（1，－1，1），a3＝（1，0，1）。 任意1個、2個向量都線性無關，但是a1+a2＝2a3，整個向量組是線性相關的。
證明如果向量組線性無關,則向量組的任一部分組都線性無關
證明，用反證法，設有向量抄組a1，a2,a3,a4,an線性無關，bai同時，設du 其中向量a1，a2,a3,a4,aj線性相zhi關，j該向量組組dao成的矩陣a a1，a2,a3,a4,aj，an 方括號裡面是列，不是行，這裡輸不了 可以通過初等變換變為a aj，an 則a的秩為n j 1 向...
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