1樓:柳葉
最大公因數和最小公倍數c用短除法來求的。!如圖
2樓:
這個不一定,抄一般會有兩種組合。襲比如bai3和42,以及6和21,它們
du兩對的最大公約
zhi數都是3,最小公倍數dao都是42。只能說最小公倍數÷最大公約數=兩個互質的數乘積。比如此例,42÷3=14=1×14或2×7,再用這兩組解,分別去乘3就行了,得到3和42,或6和21。
最大公因數和最小公倍數怎麼求有幾種方法算
3樓:楊楊小可愛
求最大公約數的一種方法,也可用來求最小公倍數。
求幾個數最大公約數的方法,開始時用觀察比較的方法,即:先把每個數的約數找出來,然後再找出公約數,最後在公約數中找出最大公約數。
例如:求12與18的最大公約數。
12的約數有:1、2、3、4、6、12。
18的約數有:1、2、3、6、9、18。
12與18的公約數有:1、2、3、6。
12與18的最大公約數是6。
這種方法對求兩個以上數的最大公約數,特別是數目較大的數,顯然是不方便的。於是又採用了給每個數分別分解質因數的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12與18都可以分成幾種形式不同的乘積,但分成質因數連乘積就只有以上一種,而且不能再分解了。所分出的質因數無疑都能整除原數,因此這些質因數也都是原數的約數。從分解的結果看,12與18都有公約數2和3,而它們的乘積2×3=6,就是 12與18的最大公約數。
採用分解質因數的方法,也是採用短除的形式,只不過是分別短除,然後再找公約數和最大公約數。如果把這兩個數合在一起短除,則更容易找出公約數和最大公約數。
從短除中不難看出,12與18都有公約數2和3,它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數。與前邊分別分解質因數相比較,可以發現:不僅結果相同,而且短除法豎式左邊就是這兩個數的公共質因數,而兩個數的最大公約數,就是這兩個數的公共質因數的連乘積。
實際應用中,是把需要計算的兩個或多個數放置在一起,進行短除。
在計算多個數的最小公倍數時,對其中任意兩個數存在的約數都要算出,其它無此約數的數則原樣落下。最後把所有約數和最終剩下無法約分的數連乘即得到最小公倍數。
4樓:瀟灑的熱心網友
求最大公因數和最小公倍數的方法:
一、特殊情況:
1、倍數關係
的兩個數,最大公因數是較小的數,最小公倍數是較大的數.(如;6和12的最大公因數是
6,最小公倍數是
12.)
2、互質關係
的兩個數,最大公因數是1,最小公倍數是它們的乘積.(如,5和7的最大公因數時
1,最小公倍數是5×
7=35
)二、一般情況:
1求最大公因數:
列舉法、單列舉法、分解質因數法、短除法、除法算式法.
1列舉法
:如,求18和
27的最大公因數
先找出兩個數的所有因數
18的因數有:
5樓:哎_又見落葉
求最大公約數有多種方法,常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損
法。求最大公約數主要有分解質因數法、公式法。
一、最大公因數求法
1、質因數分解法
質因數分解法:把每個數分別分解質因數,再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最大公約數。
例如:求24和60的最大公約數,先分解質因數,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24與60的全部公有的質因數是2、2、3,它們的積是2×2×3=12,所以,(24、60)=12。
2、短除法
短除法:短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。
短除法求最小公倍數,先用這幾個數的公約數去除每個數,再用部分數的公約數去除,並把不能整除的數移下來,一直除到所有的商中每兩個數都是互質的為止,然後把所有的除數和商連乘起來,所得的積就是這幾個數的最小公倍數,例如,求12、15、18的最小公倍數。
3、輾轉相除法
輾轉相除法:輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法,也叫歐幾里德演算法。兩個整數的最大公約數等於其中較小的那個數和兩數的相除餘數的最大公約數。
4、更相減損法
劉徽《九章算術》
更相減損法:也叫更相減損術,是出自《九章算術》的一種求最大公約數的演算法,它原本是為約分而設計的,但它適用於任何需要求最大公約數的場合。
《九章算術》是中國古代的數學專著,其中的「更相減損術」可以用來求兩個數的最大公約數,即「可半者半之,不可半者,副置分母、子之數,以少減多,更相減損,求其等也。以等數約之。」
翻譯成現代語言如下:
第一步:任意給定兩個正整數;判斷它們是否都是偶數。若是,則用2約簡;若不是則執行第二步。
第二步:以較大的數減較小的數,接著把所得的差與較小的數比較,並以大數減小數。繼續這個操作,直到所得的減數和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
二、最小公倍數演算法
1、分解質因數法
先把這幾個數的質因數寫出來,最小公倍數等於它們所有的質因數的乘積(如果有幾個質因數相同,則比較兩數中哪個數有該質因數的個數較多,乘較多的次數)。
2、公式法
由於兩個數的乘積等於這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積。即(a,b)×[a,b]=a×b。所以,求兩個數的最小公倍數,就可以先求出它們的最大公約數,然後用上述公式求出它們的最小公倍數。
例如,求[18,20],即得[18,20]=18×20÷(18,20)=18×20÷2=180。求幾個自然數的最小公倍數,可以先求出其中兩個數的最小公倍數,再求這個最小公倍數與第三個數的最小公倍數,依次求下去,直到最後一個為止。最後所得的那個最小公倍數,就是所求的幾個數的最小公倍數。
三、最大公因數、最小公倍數簡介
1、最大公因數
也稱最大公約數、最大公因子,指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a,b的最大公約數記為(a,b),同樣的,a,b,c的最大公約數記為(a,b,c),多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法,常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。
與最大公約數相對應的概念是最小公倍數,a,b的最小公倍數記為[a,b]。
2、最小公倍數
兩個或多個整數的公倍數裡最小的那一個叫做它們的最小公倍數。整數a,b的最小公倍數記為[a,b],同樣的,a,b,c的最小公倍數記為[a,b,c],多個整數的最小公倍數也有同樣的記號。
6樓:匿名使用者
最大公因數求法
質因數分
解法質因數分解
質因數分解法:把每個數分別分解質因數,再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最大公約數。
例如:求24和60的最大公約數,先分解質因數,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24與60的全部公有的質因數是2、2、3,它們的積是2×2×3=12,所以,(24、60)=12。
把幾個數先分別分解質因數,再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最小公倍數。
例如:求6和15的最小公倍數。先分解質因數,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的質因數是3,6獨有質因數是2,15獨有的質因數是5,2×3×5=30,30裡面包含6的全部質因數2和3,還包含了15的全部質因數3和5,且30是6和15的公倍數中最小的一個,所以[6,15]=30。
短除法短除法:短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然
後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。
短除法求最小公倍數,先用這幾個數的公約數去除每個數,再用部分數的公約數去除,並把不能整除的數移下來,一直除到所有的商中每兩個數都是互質的為止,然後把所有的除數和商連乘起來,所得的積就是這幾個數的最小公倍數,例如,求12、15、18的最小公倍數。
短除法的格式
短除法的本質就是質因數分解法,只是將質因數分解用短除符號來進行。
短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數,然後落下兩個數被公有質因數整除的商,之後再除,以此類推,直到結果互質為止(兩個數互質)。
而在用短除計算多個數時,對其中任意兩個數存在的因數都要算出,其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關係。
求最大公因數便乘一邊,求最小公倍數便乘一圈。
無論是短除法,還是分解質因數法,在質因數較大時,都會覺得困難。這時就需要用新的方法。
輾轉相除法
古希臘數學家歐幾里德
輾轉相除法:輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法,也叫歐幾里德演算法。
這就是輾轉相除法的原理。
輾轉相除法的格式
例如,求(319,377):
∵ 319÷377=0(餘319)
∴(319,377)=(377,319);
∵ 377÷319=1(餘58)
∴(377,319)=(319,58);
∵ 319÷58=5(餘29),
∴ (319,58)=(58,29);
∵ 58÷29=2(餘0),
∴ (58,29)= 29;
∴ (319,377)=29.
可以寫成右邊的格式。
用輾轉相除法求幾個數的最大公約數,可以先求出其中任意兩個數的最大公約數,再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數,依次求下去,直到最後一個數為止。最後所得的那個最大公約數,就是所有這些數的最大公約數。
更相減損法
劉徽《九章算術》
更相減損法:也叫更相減損術,是出自《九章算術》的一種求最大公約數的演算法,它原本是為約分而設計的,但它適用於任何需要求最大公約數的場合。
《九章算術》是中國古代的數學專著,其中的「更相減損術」可以用來求兩個數的最大公約數,即「可半者半之,不可半者,副置分母、子之數,以少減多,更相減損,求其等也。以等數約之。」
翻譯成現代語言如下:
第一步:任意給定兩個正整數;判斷它們是否都是偶數。若是,則用2約簡;若不是則執行第二步。
第二步:以較大的數減較小的數,接著把所得的差與較小的數比較,並以大數減小數。繼續這個操作,直到所得的減數和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說的「等數」,就是最大公約數。求「等數」的辦法是「更相減損」法。所以更相減損法也叫等值演算法。
例1、用更相減損術求98與63的最大公約數。
解:由於63不是偶數,把98和63以大數減小數,並輾轉相減:
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以,98和63的最大公約數等於7。
這個過程可以簡單的寫為:
(98,63)=(35,63)=(35,28)=(7,28)=(7,21)=(7,14)=(7,7)=7.
例2、用更相減損術求260和104的最大公約數。
解:由於260和104均為偶數,首先用2約簡得到130和52,再用2約簡得到65和26。
此時65是奇數而26不是奇數,故把65和26輾轉相減:
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以,260與104的最大公約數等於13乘以第一步中約掉的兩個2,即13*2*2=52。
這個過程可以簡單地寫為:
(260,104)=(65,26)=(39,26)=(13,26)=(13,13)=13.
比較輾轉相除法與更相減損術的區別
(1)都是求最大公因數的方法,計算上輾轉相除法以除法為主,更相減損術以減法為主,計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少,特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
(2)從結果體現形式來看,輾轉相除法體現結果是以相除餘數為0則得到,而更相減損術則以減數與差相等而得到。
常用結論
在解有關最大公約數、最小公倍數的問題時,常用到以下結論:
(1)如果兩個自然數是互質數,那麼它們的最大公約數是1,最小公倍數是這兩個數的乘積。
例如8和9,它們是互質數,所以(8,9)=1,[8,9]=72。
(2)如果兩個自然數中,較大數是較小數的倍數,那麼較小數就是這兩個數的最大公約數,較大數就是這兩個數的最小公倍數。
例如18與3,18÷3=6,所以(18,3)=3,[18,3]=18。
(3)兩個整數分別除以它們的最大公約數,所得的商是互質數。
例如8和14分別除以它們的最大公約數2,所得的商分別為4和7,那麼4和7是互質數。
(4)兩個自然數的最大公約數與它們的最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積。
例如12和16,(12,16)=4,[12,16]=48,有4×48=12×16,即(12,16)× [12,16]=12×16。
(5)***(a,b) is the **allest positive linear ***bination of a and b. a與b的最大公約數是最小的a與b的正線性組合,即對於方程xa+yb=c來說,若x,a,y,b都為整數,那麼c的最小正根為***(a,b).
最小公倍數求法
最小公倍數=兩數的乘積/最大公約(因)數,
如果兩個數是倍數關係,則它們的最小公倍數就是較大的數,相鄰的兩個自然數的最小公倍數是它們的乘積。
最小公倍數的適用範圍:分數的加減法,中國剩餘定理(正確的題在最小公倍數內有解,有唯一的解).
因為,素數是不能被1和自身數以外的其它數整除的數;素數x的n次方,是隻能被x的n-1以下次方,1和自身數整除.
所以,在求a,b,c,d,e,...,z的最小公倍數時,只需要把這些數分解為素數的n次方之間的乘積後,取各素因子的最高次方的乘積,就是這些數的最小公倍數.
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