1樓：月隨
證明:假設此函式為一個抄周期函式
t(t≠0)為其bai週期之一
則必有f(x+t)=f(x)恆成立du
令zhif(x)=f(x+t)-f(x)
f(x)=0對於任意x恆成立
由於f(x)
=xcos(x+t)+tcos(x+t)-xcosx=tcos(x+t)-2xsin(x+t/2)sin(t/2)令x=0
得到f(0)=tcost=0
由於t≠0,於是cost=0
即daot=2kπ+π/2(k為一整數)
於是f(x)
=tcos(x+t)-2xsin(x+t/2)sin(t/2)=tcos(x+2kπ+π/2)-2xsin(x+kπ+π/4)sin(kπ+π/4)
=-tsinx-2x*(-1)^k*sin(x+π/4)*(-1)^k*sin(π/4)
=-tsinx-√2xsin(x+π/4)於是f(π)=π≠0
產生矛盾,即f(x)=xcosx不是一個周期函式
2樓：匿名使用者
肯定不是...
周期函式的定義是:f(x+t)=f(x),t為非零實數f(x+t)=(x+t)*cos(x+t),他的值域是-(x+t)~(x+t)
f(x)值域是:-x~x
所以不可能是周專期函式...
你要屬寫證明的話,只要寫出不存在這樣的t,使f(x+t)=f(x)就行了...
怎麼判斷一個函式是不是周期函式
3樓：大二二大
一個函式是不是周期函式的判定定理
周期函式定理，一共分一下幾個型別。
定理1若f（x）是在集m上以t*為最小正週期的周期函式，則k f（x）+c（k≠0）和1/ f（x）分別是集m和集上的以t*為最小正週期的周期函式。
定理2若f（x）是集m上以t*為最小正週期的周期函式，則f（ax+n）是集上的以t*/ a為最小正週期的周期函式，（其中a、b為常數）。
定理3設f（u）是定義在集m上的函式，u=g（x）是集m1上的周期函式，且當x∈m1時，g（x）∈m，則複合函式f（g（x））是m1上的周期函式。
定理4設f1（x）、f2（x）都是集合m上的周期函式，t1、t2分別是它們的週期，若t1/t2∈q則它們的和差與積也是m上的周期函式，t1與t2的公倍 數為它們的週期。
定理5設f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，則f1（x）與f2（x）之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈q。
擴充套件資料：
定義設f（x）是定義在數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質：f（x+t）=f（x），則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。
由定義可得：周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期，譬如狄利克雷函式。
性質周期函式的性質共分以下幾個型別：
（1）若t（≠0）是f（x）的週期，則-t也是f（x）的週期。
（2）若t（≠0）是f（x）的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。
（3）若t1與t2都是f（x）的週期，則t1±t2也是f（x）的週期。
（4）若f（x）有最小正週期t*，那麼f（x）的任何正週期t一定是t*的正整數倍。
（5）若t1、t2是f（x）的兩個週期，且t1/t2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。
（6）周期函式f（x）的定義域m必定是至少一方無界的集合
判定方法
周期函式的判定方法分為以下幾步：
（1）判斷f（x）的定義域是否有界；
例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函式。
（2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f（x+t）= f（x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f（x+t）- f（x）=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f（x）是周期函式，若這樣的t不存在則f（x）為非周期函式。
例：f（x）=cosx^2 是非周期函式。
（3）一般用反證法證明。（若f（x）是周期函式，推出矛盾，從而得出f（x）是非周期函式）。
例：證f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函式。
證：假設f（x）=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使之成立 ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0，at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f（x）是非周期函式。
例：證f（x）= ax+b是非周期函式。
證：假設f（x）是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有（x+t）= f（x），當x=0時，f（x）=0，但x+t≠0，∴f（x+t）=1，∴f（x+t） ≠f（x）與f（x+t）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函式。
4樓：demon陌
判斷周期函式的方法，一般是根據定義。即對函式f（x），如果存在常數t(t≠0)，使得當x取定義域內的每一個值時，均有f（x+t）=f（x）成立，則稱f（x）是週期為t的周期函式【當然，任何一個常數kt（k∈z且k≠0）均為其週期】。
本題中，設y=xcosx=f(x),x∈r,假設f(x)是週期為t的周期函式，則f(x)=f(x+t)=(x+t)cos(x+t)=xcos(x+t)+tcos(x+t)=xcosx。顯然，只有t=0時，對任意x才能成立。故，y=xcosx不是周期函式。
擴充套件資料：
周期函式的性質共分以下幾個型別：
（1）若t（≠0）是f（x）的週期，則-t也是f（x）的週期。
（2）若t（≠0）是f（x）的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。
（3）若t1與t2都是f（x）的週期，則t1±t2也是f（x）的週期。
（4）若f（x）有最小正週期t*，那麼f（x）的任何正週期t一定是t*的正整數倍。
（5）若t1、t2是f（x）的兩個週期，且t1/t2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。
（6）周期函式f（x）的定義域m必定是至少一方無界的集合。
周期函式的判定方法分為以下幾步：
（1）判斷f（x）的定義域是否有界；
例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函式。
（2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f（x+t）= f（x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f（x+t）- f（x）=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f（x）是周期函式，若這樣的t不存在則f（x）為非周期函式。
例：f（x）=cosx^2 是非周期函式。
（3）一般用反證法證明。（若f（x）是周期函式，推出矛盾，從而得出f（x）是非周期函式）。
例：證f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函式。
證：假設f（x）=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使之成立 ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0，at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f（x）是非周期函式。
例：證f（x）= ax+b是非周期函式。
證：假設f（x）是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有（x+t）= f（x），當x=0時，f（x）=0，但x+t≠0，∴f（x+t）=1，∴f（x+t） ≠f（x）與f（x+t）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函式。
5樓：匿名使用者
設f(x）是定義在
數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質：f（x+t）=f（x），
則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。
由定義可得：周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期。
方法：⑴若f(x）的定義域有界，[2]
例：f(x)=cosx（≤10）不是周期函式。
⑵根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f(x+t)= f(x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f(x+t)- f(x)=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f(x）是周期函式，若這樣的t不存在則f(x）為非周期函式。
例：f(x)=cosx 是非周期函式。
⑶一般用反證法證明。（若f(x）是周期函式，推出矛盾，從而得出f(x）是非周期函式）。
例：證f(x)=ax+b(a≠0）是非周期函式。
證：假設f(x)=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使true ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0 at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f(x）是非周期函式。
例：證f(x)= 是非周期函式。
證：假設f(x）是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有（x+t)= f(x），當x=0時，f(x)=0，但x+t≠0，∴f(x+t)=1，∴f(x+t) ≠f(x）與f(x+t)= f(x）矛盾，∴f(x）是非周期函式。
例：證f(x)=sinx2是非周期函式
證：若f(x)= sinx2是周期函式，則存在t（>0），使之true ，有sin(x+t)2=sinx2，取x=0有sint2=sin0=0，∴t2=kπ（k∈z），又取x= t有sin(t+t)2=sin（t）2=sin2kπ=0，∴（+1）2
t2=lπ（l∈z+），∴
與3+2 是無理數矛盾，∴f(x)=sinx2是非周期函式。
6樓：刑儒澹臺英銳
看這個函式的曲線是不是呈週期性變化。可以用軟體輔助繪圖觀察。
7樓：康農繆迎曼
1、一開始還是要靠數學的推導，等積累了一定經驗，感覺才會起作用。
比如，書上說f(x+t)=f(x)，t>0，則t為函式f(x)的週期
那麼，如果f(x+t)=f(x)，但t<0，那麼函式是否是周期函式，週期是多少？其實f(x)=f[(x-t)+t]=f(x-t)，於是立馬知道函式是周期函式，週期為-t
再來，如果f(x+t)=f(x-t)，t>0，那麼函式是否是周期函式？用x+t代x，代入得f(x+2t)=f(x)，於是函式為周期函式，週期為2t
接著來，如果f(x+a)=f（x-b），a、b都是正數，又如何？同樣，用x+b代x，得f(x+a+b)=f(x)，週期為a+b
還來，如果f(x+a)=f（x+b）或f(x-a)=f（x-b），a、b都是正數，是否週期？你按照上面的方法自己練練吧
2、類似1/9、17/19這樣的分數，化為小數時，小數也必然呈現週期性
3、還有物理方法
比如物體滿足f=-kx，k>0，f為物體受的合外力，x為位移，則物體一定呈現簡諧運動，週期為2π
*根號(m/k)，m為物體質量
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