1樓:匿名使用者
一、什麼是虛數?首先,假設有一根數軸,上面有兩個反向的點:+1和-1。
這根數軸的正向部分,可以繞原點旋轉。顯然,逆時針旋轉180度,+1就會變成-1。
這相當於兩次逆時針旋轉90度。
因此,我們可以得到下面的關係式:
(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)如果把+1消去,這個式子就變為:
(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)將"逆時針旋轉90度"記為 i :
i^2 = (-1)
這個式子很眼熟,它就是虛數的定義公式。
所以,我們可以知道,虛數 i 就是逆時針旋轉90度,i 不是一個數,而是一個旋轉量。
二、複數的定義既然 i 表示旋轉量,我們就可以用 i ,表示任何實數的旋轉狀態。
將實數軸看作橫軸,虛數軸看作縱軸,就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數,必然唯一對應這個平面中的某個點。
只要確定橫座標和縱座標,比如( 1 , i ),就可以確定某個實數的旋轉量(45度)。
數學家用一種特殊的表示方法,表示這個二維座標:用 + 號把橫座標和縱座標連線起來。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。
這種表示方法就叫做複數(***plex number),其中 1 稱為實數部,i 稱為虛數部。
為什麼要把二維座標表示成這樣呢,下一節告訴你原因。
三、虛數的作用:加法虛數的引入,大大方便了涉及到旋轉的計算。
比如,物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ,另一個力是 1 + 3i ,請問它們的合成力是多少?
根據"平行四邊形法則",你馬上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
這就是虛數加法的物理意義。
四、虛數的作用:乘法如果涉及到旋轉角度的改變,處理起來更方便。
比如,一條船的航向是 3 + 4i 。如果該船的航向,逆時針增加45度,請問新航向是多少?
45度的航向就是 1 + i 。計算新航向,只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了(原因在下一節解釋):( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以,該船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆時針增加90度,就更簡單了。因為90度的航向就是 i ,所以新航向等於:
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
這就是虛數乘法的物理意義:改變旋轉角度。
五、虛數乘法的數學證明為什麼一個複數改變旋轉角度,只要做乘法就可以了?
下面就是它的數學證明,實際上很簡單。
任何複數 a + bi,都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。
假定現有兩個複數 a + bi 和 c + di,可以將它們改寫如下:
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
這兩個複數相乘,( a + bi )( c + di ) 就相當於
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
後面的乘式,得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根據三角函式公式,上面的式子就等於
cos(α+β) + isin(α+β)
所以,( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
這就證明了,兩個複數相乘,就等於旋轉半徑相乘、旋轉角度相加。
2樓:張廖丹曹姬
表示角度
如果你學過複數的三角或者指數表示式就會發現虛數可以表示為
ae^(ai)
a為模長
a為幅角
這就使得任何一個向量都可以用這個來表示
這個意義不只是簡化了表達的方式
而且複數的運算也是更簡單的
而且複數與三角形式是可以轉化的
在電磁學裡往往算週期什麼的就需要換成三角形式複數在這上面有優勢
ps1:實軸和虛軸冰不是無聊透頂的牽強附合的解釋實際上高中階段只告訴你這是一一對映
其實原不是這麼簡單
還是要化成指數形式
你會發現
i=e^(pai/2
*i)pai/2就是弧度制的90度
而根號i等於
e^(pai/4
i)也就是45度
也就是說
每一個純虛數i都表示一個旋轉的角度....
ps2:虛數在相對論方面也是很重要的
不過我自己都搞不清楚........
虛數在實際生活中究竟有什麼意義?
3樓:我是龍的傳人
虛數在實際生活中的意義表現在以下幾個方面:
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以,該船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆時針增加90度,就更簡單了。因為90度的航向就是 i ,所以新航向等於:
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )這就是虛數乘法的物理意義:改變旋轉角度。
4樓:出現的
虛數在普通人生活中沒有用,但是沒有虛數,就沒有現在的生活。
虛數的意義:虛數是交流電路分析的基礎,是電磁波分析的基礎,假如沒有交流電,電就不可能傳輸,也就是說幾乎沒有人能用上電(除非有發電機),而沒有電磁波,那**電視手機寬頻這一切就都沒有。
虛數:虛數可以指不實的數字或並非表明具體數量的數字。在數學中,虛數就是形如a+b*i的數,其中a,b是實數,且b≠0,i2 = - 1。
虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立,因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸虛部b與對應平面上的縱軸,這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。
5樓:匿名使用者
因為沒有什麼實際意義,所以叫虛數
6樓:匿名使用者
虛數是很重要的
不僅是在數學中間
主要 的是在工科電路 類比電路中
在交流電中 你不引入複數概念 那你電容 電感 電阻聯絡不到一起 就沒有辦法學了
這是我知道的複數的應用,不僅是這些 還有很多用到複數
7樓:匿名使用者
虛數對應直角座標系的y軸,複數對應直系下的二維向量,這已很實際,有時可用複數解決幾何證明,它在數學的其他方面很有用,數學再用於實際,就是i的實際意義
8樓:匿名使用者
電流中應用很大
如電冰箱穩壓器為什麼能夠穩壓呢?因為它用到了交流電中相位這方面知識,而相位就是用虛數來標識的.
當然你可以說這已經不是生活中的應用了,但我相信,隨著大家共同學習及知識水平的提高,會把虛數看作生活的一部分的.
9樓:匿名使用者
在訊號處理中虛數有實際意義
10樓:匿名使用者
可以把理論延伸到人類達不到的實際中
11樓:匿名使用者
很多科學領域涉及虛數,你直接問科學和現在的實際生活有什麼意義就可以了。
12樓:白海豚
沒多大意義,補充數學內容,開發抽象思維~輔助實數研究
虛數存在的意義?
13樓:匿名使用者
虛數存在的意義:它可以在平面直角座標系中畫出虛數系統。
如果利用橫軸表示全體實數,那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個複數,稱為複平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。
在此時,一點p座標為p (a,bi),將座標乘上i即點繞圓心逆時針旋轉90度。
t' = - 1/t這一表示式在幾何空間上的意義不大,但若配合狹義相對論,在時間上理解,則可以解釋若相對運動速度可以大於光速c,相對時間間隔產生的虛數值,實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。
擴充套件資料
虛數的起源:
「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制,因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。
人們發現即使使用全部的有理數和無理數,也不能解決代數方程的求解問題。像x2+1=0這樣最簡單的二次方程,在實數範圍內沒有解。
12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數,負數的平方也是正數,因此,一個正數的平方根是兩重的;一個正數和一個負數,負數沒有平方根,因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。
14樓:匿名使用者
《時間簡史》我也看過的。其中虛數用的最妙的要數虛時間的定義了。不知道樓主什麼學歷,我按照你是高中生講了哈。
高中應該學過三維座標系吧,那麼你知道為什麼要定義三維座標嗎?因為在高中物理與幾何中,你只要確定了三維座標,一切性質就確定了。理論上說,一個二維座標(x,y)與x+yi是沒有差別的(迪卡爾積不知道你們學了沒有,沒學也沒關係,湊合著理解)。
所以把三維座標都變成複數沒有任何意義,他就相當於一個6維座標。然而,複數的許多良好性質與運算是普通二維座標沒法代替的。我們現在學一門課叫做複變函式,就是研究變數與自變數都是複數的函式的性質。
這些性質可以對應到四維座標,但是那就麻煩大了,而且既然專門有複變函式這門課我們何必要再研究思維空間呢。 總結一下我的觀點:複數沒有確切的到底是什麼東西,他只是一種處理工具。
藉助《複變函式〉的研究給物理帶來方便。至於虛時間,你不用深究,他就是構造了另一個時間度量,當我們的時間倒流時,他仍然是正著走的,你完全可以想象成一個二維時間,沒有任何影響。因為時間簡史很淺,他不會涉及太多關於複數的性質。
關於複數的妙用你可以看一下用複數解交流電燈棍工作原理的題,高中物理競賽時我看到過。你會發現複數並不僅僅是數的擴充,很好用的!
15樓:匿名使用者
虛數在相對論中用來表示時間軸,在交流電中可以用來表示相位的差異
16樓:匿名使用者
數學研究的需要 數系擴充 二次方程點兒踏小於0的時候 解就是虛數
虛數的實際意義
17樓:匿名使用者
把形如z=a+bi(a,b均為實數)的數稱為複數,其中a稱為實部,b稱為虛部,i稱為虛數單位。當虛部等於零時,這個複數可以視為實數;當z的虛部不等於零時,實部等於零時,常稱z為純虛數。
在數學中,虛數是對實數系的擴充套件。利用複數可以構建四維座標系,四維座標系是三維實數座標系與三維虛數座標系組合而成的。三維實數座標系上的點與四維複數座標系存在對映對應關係,每一個實數座標點對應兩個不同的四維座標點。
因此,虛數只有在四維座標中才具有現實的數值意義。
擴充套件資料
2023年瑞士數學家尤拉(euler,或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來,寫成a+bi形式 (a、b為實數,a等於0時叫純虛數,ab都不等於0時叫複數,b等於0時就是實數)。
而在工程運算中,為了不與其他符號(如電流的符號)相混淆,有時也用j或k等字母來表示虛數的單位。通常,我們用符號c來表示複數集,用符號r來表示實數集。
虛數存在的意義虛數的實際意義
虛數存在的意義 它可以在平面直角座標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個複數，稱為複平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。在此時，一點p座標為p a，bi 將座標乘上i即點繞圓心逆時針旋轉90度。t 1 t這一表示式在幾何空間上的意義不大，但若配...
學虛數有什麼用數學中引進虛數有什麼意義
數學與科學有很大關係，學虛數，讓你知道一些在我們四維環境理解不了的數字，座標系上的數可以代表各種數字，不論是什麼維度的 複數的概念起源於求方程的根，在二次 三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。複數的一般形式...
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