1樓：胡八一通
舉個例子，1156是四位數，所以它的算術平方根的整數部分是兩位數，且易觀察出其中的十位數是3。於是問題的關鍵在於：如何求出它的個位數a？為此，我們從a所滿足的關係式來入手。
根據兩數和的平方公式，可以得到
1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，
所以 1156－30^2=2×30a+a^2，
即 256=(30×2+a)a，
也就是說， a是這樣一個正整數，它與30×2的和，再乘以它本身，等於256。
為便於求得a，可用下面的豎式來進行計算：
根號上面的數3是平方根的十位數。將 256試除以30×2，得4(如果未除盡則取整數位).由於4與30×2的和64，與4的積等於256，4就是所求的個位數a。
豎式中的餘數是0，表示開方正好開盡。於是得到 1156=34^2， 或√1156=34. 上述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：
開方的計算步驟
1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用「 ' 」這個符號分開（豎式中的11』56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；
2．根據左邊第一段裡的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；
3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段陣列成第一個餘數（豎式中的256）；
4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，所以試商是4）；
5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商，如果所得的積小於或等於餘數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於餘數，就把試商減小之後再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；
6．用相同的方法，繼續求平方根的其餘各位上的數。
如碰到開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值。例如求其近似值（精確到0.01），可列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到。
筆算開平方運算較複雜，在實際中直接應用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值。
2樓：丿浮誇
開方方法：
1、比如說我們計算根號10，有計算機的夥伴們可以按一下，結果3.1622776601683.......將要開方的數在小數點前後，每兩位進行分節。然後前後都可以補0哦。
2、然後從最左邊的節開始計算，由於是每兩位進行的分節，所以最左邊的數一定小等於99，所以就在10以內找到一個開方最大並且小於第一節的數，作為開方的第一個數。所以10開方得到的第一個值就是3
3、就像做除法一樣，10減去3的平方也就是9，餘數是1，然後將第二節的數移下來，我們這裡是補的00，所以就變成100啦。
4、然後計算第2個數，首先先用20去乘以3，也就是第一個得到x，可以得到一個數，可以標記為y，在我們這裡y為60，然後用上一步的餘數去除以這個y，也就是60。簡而言之就是100除以60，得到的整數位就是第二個數的值啦，所以是1。
5、然後用步驟5裡面的60加上1，乘以1,1*（60+1）等於61，然後就用之前得到餘數100減去6，然後再把後面的第二節的數移下來，這裡同樣是00.然後相減，我們可以得到3900這個餘數，然後就依次重複上面步驟5,6，就可以得到無限近似的結果啦。
3樓：郟湛穎嘉子
過最好的是記住根號2，根號3，根號5等一些數值的值
因為很多數值都可以分解成這些數的乘積形式
[解題過程]
述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：
1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開(豎式中的11'56)，分成幾段，表示所求平方根是幾位數；
2．根據左邊第一段裡的數，求得平方根的最高位上的數(豎式中的3)；
3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段陣列成第一個餘數(豎式中的256)；
4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商(3×20除
256，所得的最大整數是
4，即試商是4)；
5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於餘數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於餘數，就把試商減小再試(豎式中(20×3＋4)×4＝256，說明試商4就是平方根的第二位數)；
6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．
徒手開n次方根的方法:
原理:設被開方數為x,開n次方,設前一步的根的結果為a,現在要試根的下一位,設為b,
則有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差與本段合成);且b取最大值
用純文字描述比較困難,下面用例項說明:
我們求2301781.9823406
的5次方根:
第1步:將被開方的數以小數點為中心,向兩邊每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在兩端用0補齊;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
從高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且為最大值;顯然b=1
差c=23-b^5=22,與下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(計算機語言賦值語句寫作a=10*a+b),找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
說明:這裡可使用近似公式估算b的值:
當10*a>>b時,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
4樓：我是龍的傳人
例：求256的平方根
第一步：將被開方數的整數個位起向左每隔兩位劃為一段，用逗號分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數。
例，第一步：將256，分成兩段：
2，56
表示平方根是兩位數（xy，x表是平方根十位上數，y表示個位數）。
第二步：根據左邊第一段裡的數，取該數的平方根的整數部分，作為所要求的平方根求最高位上的數。
例：左邊第一段數值是2，2的平方根是大約等於1.414（這些儘量要記得，100以內的，尤其是能開整數的），由於2的平方根1.
414大於1和小於2，所以取整數部分是1作為所要求的平方根求最高位上的數，即所要求的平方根最高位x是1。
第三步：從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段陣列成第一個餘數。
例：第一段數裡的數是2.第二步計算出最高數是1
2減去1的平方=1
將1與第二段數（56）組成一個第一個餘數：156
第四步：把第二步求得的最高位數（1）乘以20去試除第一個餘數（156），取所得結果的整數部分作為第一個試商。
例： 156除以（1乘20）=7.8
第一個試商就是7
第五步：第二步求得的的最高位數（1）乘以20再加上第一個試商(7)再乘以第一個試商(7)。
（1*20+7）*7
如果：（1*20+7）*7小於等於156，則7就是平方根的第二位數.
如果：（1*20+7）*7大於156，將第一個試商7減1，即用6再計算。
由於：（1*20+6）*6=156所以，6就是第平方根的第二位數。
例：求55225的平方根
第一步：將被開方數的整數個位起向左每隔兩位劃為一段，用逗號分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數。
例，第一步：將55225，分成三段：
5，52，25
表示平方根是三位數（xyz）。
第二步：根據左邊第一段裡的數，取該數的平方根的整數部分，作為所要求的平方根求最高位上的數。
例：左邊第一段數值是5，5的平方根是（2點幾）大於2和小於3，所以取整數部分是2作為所要求的平方根求最高位上的數，即所要求的平方根最高位x是2。
第三步：從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段陣列成第一個餘數。
例：第一段數裡的數是5.第二步計算出最高數是2
5減去2的平方=1
將1與第二段數（52）組成一個第一個餘數：152
第四步：把第二步求得的最高位數（2）乘以20去試除第一個餘數（152），取所得結果的整數部分作為第一個試商。
例： 152除以（2乘20）=3.8
第一個試商就是3
第五步：第二步求得的的最高位數（2）乘以20再加上第一個試商(3)再乘以第一個試商(3)。
（2*20+3）*3
如果：（2*20+3）*3小於等於152，則3就是平方根的第二位數.
如果：（2*20+3）*3大於152，將第一個試商3減1，即用2再計算。
由於：（2*20+3）*3小於152所以，3就是第平方根的第二位數。
第六步：用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數。用上一個餘數減去上法中所求的積（即152－129＝23），與第三段陣列成新的餘數（即2325）。
這時再求試商，要用前面所得到的平方根的前兩位數（即23）乘以20去試除新的餘數（2325），所得的最大整數為新的試商。（2325/(23×20)的整數部分為5。）
7．對新試商的檢驗如前法。（右例中最後的餘數為0，剛好開盡，則235為所求的平方根。）
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