1樓：塞外灰狼
首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述：
單擺受到的重力矩為：
m = - m * g * l * sin x.
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，
m = j * β.
其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量，β = x''（擺角關於時間的2階導數）是角加速度。
於是化簡得到
x'' * l = - g * sin x.
我們對上式適當地選擇比例係數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + sin x = 0…………（1）
而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有sin x ≈ x。（這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。
）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。
在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
2樓：匿名使用者
單擺受到的重力矩為：
m = - m * g * l * sin x.
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，
m = j * β.
其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量，β = x''（擺角關於時間的2階導數）是角加速度。
於是化簡得到
x'' * l = - g * sin x.
我們對上式適當地選擇比例係數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + sin x = 0…………（1）
而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有sin x ≈ x。（這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。
）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。
在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
3樓：08奧運成功
由一根不可伸長、質量不計的繩子，上端固定，下端系一質點，的裝置叫做單擺。單擺在擺角小於5°的條件下振動時，可近似認為是簡諧運動。單擺週期公式：t=2π[l/g].
質點振動系統的一種，是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體，都稱為擺，但其週期一般和物體的形狀、大小及密度的分佈有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為 l且不能伸長的細繩上，把質塊拉離平衡位置，使細繩和過懸點鉛垂線所 成角度小於5°，放手後質塊往復振動，可視為質點的振動，其週期 t只和l和當地的重力加速度g有關，即 而和質塊的質量 、形狀和振幅的大小都無關係，其運動狀態可用簡諧振動公式表示，稱為單擺或數學擺 。
如果振動的角度大於 5°，則振動的週期將隨振幅的增加而變大，就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大，繩的質量不能忽略，就成為復擺（物理擺），週期就和擺球的尺寸有關了。首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述：
單擺受到的重力矩為：
m = - m * g * l * sin x.
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，
m = j * β.
其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量，β = x''（擺角關於時間的2階導數）是角加速度。
於是化簡得到
x'' * l = - g * sin x.
我們對上式適當地選擇比例係數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + sin x = 0…………（1）
而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有sin x ≈ x。（這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。
）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。
在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
伽利略第一個發現擺的振動的等時性，並用實驗求得單擺的週期隨長度的二次方根而變動。惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器�也可用來測量重力加速度的變化。
惠更斯的同時代人天文學家j.裡希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那，發現每天慢 2.5分鐘，經過校準，回巴黎時又快 2.
5分鐘。惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。i.
牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。直到20世紀中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。
[sir_chen補充]
上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式,但是對於我個人而言比較喜歡追求完美.所以在此補充一點,也就是在任意角度下單擺的週期公式.但在此之前提出兩個概念:
第一類不完全橢圓積分:f(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x²sin²θ),第一類完全橢圓積分k(x)=f(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x²sin²θ)(∫[a,b]f(x)dx表示對f(x)在區間[a,b]上的定積分)
設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ,那麼單擺的運動公式為:
d²θ/dt²+g/l*sinθ=0
令ω=dθ/dt,上式改寫成:
ωdω/dθ+g/l*sinθ=0
其全解為:
ω²=2g/l*cosθ+c
給定初始條件θ=α(0≤α≤π),ω=0,則其特解為:
ω²=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
做變換sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,則
t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin²(α/2)*sin²φ)=√(l/g)*f(φ,sin(α/2))
以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式,當單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時,θ=α,此時φ=π/2
那麼t=4t=4√(l/g)*f(π/2,sin(α/2))=4√(l/g)*k(sin(α/2)),此處的α就是常說的擺角,現在看一下不同的擺角對週期的影響
單擺的近似公式為t=2π√(l/g),精確公式為t=4√(l/g)*k(sin(α/2)),記相對誤差為e(α)
那麼e(α)=(2k(sin(α/2))-π)/(2k(sin(α/2))
用maple計算得到:
e(1)=0.0019%
e(2)=0.0076%
e(3)=0.0171%
e(4)=0.0305%
e(5)=0.0476%
e(6)=0.0685%
e(7)=0.0933%
e(8)=0.1218%
e(9)=0.1542%
e(10)=0.1903%
e(11)=0.2303%
e(12)=0.2741%
e(13)=0.3217%
e(14)=0.3730%
e(15)=0.4282%
e(16)=0.4872%
e(17)=0.5500%
e(18)=0.6165%
e(19)=0.6869%
e(20)=0.7611%
實驗室一般取α≤5,所以相對誤差不超過0.05%,總的來說精度還是比較高的.
單擺在真空中可以永遠運動嗎
單擺振copy動,圓周運動,質點運 bai動的規律是怎樣du的勻速圓周運動分解成兩個同頻率zhi 同振幅 dao相位差是 2 振動方向互相垂直的簡諧振動的合成.x t rcos t vx t rsin t ax t 2rcos t 2x t y t rsin t vy t rcos t ay t 2...
單擺擺長為l，擺球的質量為m，單擺做簡諧運動，當擺角為
1 根據牛頓第二定copy律f合 ma可知mgtan bai ma 擺球振動 的加速度a gtan 2 擺動du 到平衡位置時，zhi若速度為daov，那麼它振動的加速度 0根據牛頓第二定律f合 ma可知 t mg mv 2 l t mg ma 實際加速度 a t mg m v 2 l 單擺做簡諧運...
小球做單擺運動時為什麼只重力做功拉力不做功求解答
單擺是物理上的理想模型，理想狀況下，拉力始終與小球的運動軌跡方向相垂直，在擺線拉力方向上無位移，自然無做功可言 單擺重力做功 因為它的高度下降了 l 1 cos 小球做單擺運動時為什麼只重力做功拉力不做功 單擺是物理上的理想模型，理想狀況下，拉力始終與小球的運動軌跡方向相垂直，在擺線拉力方向上無位移...