實對稱矩陣要對角化的方法

2021-08-08 22:06:50 字數 1750 閱讀 4499

1樓:神級人氏

對稱矩陣也可以用一般的由特徵向量組成的非奇異陣做對角化,只不過它有特殊的性質(對稱),因此我們就可以考慮特殊的對角化,也就是正交相似對角化。這麼做有好處:正交矩陣的逆矩陣很容易求,就是它的轉置,不像一般的可逆陣需要半天才能求出來,如果是一個1000*1000的矩陣求逆,那要很長時間才能做完,但正交矩陣就太容易了,只要轉置一下就行了。

對稱矩陣:對稱矩陣(symmetric matrices)是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣。2023年,埃米特(c.

hermite,1822-2023年)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質,如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來,克萊伯施(a.clebsch,1831-2023年)、布克海姆(a.

buchheim)等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(h.taber)引入矩陣的跡的概念並給出了一些有關的結論。

2樓:生命的步履

一、實對稱矩陣

實對稱矩陣是一類很重要的矩陣,它具有一些特殊的性質,特別是,它可以正交相似於一個實對角陣。

引理 22.1

設a 是一個n

階實對稱矩陣,α ,

β 是任意的n

維實向量,那麼

(aα,β)=(α,aβ) ( 22-1)

定理 22.2

實對稱矩陣的特徵值都是實數。

定理 22.3

實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量一定正交。

二、實對稱矩陣的對角化

首先,由§ 2 0所介紹的關於特徵值與特徵向量的性質(7)可知

定理22.4 設 a

是n 階實對稱矩陣,

是a 的n 個特徵值(它們不必互不相同),那麼存在正交陣 t ,使

t at = t

at= .

定理並沒有告訴我們怎樣具體求出正交陣 t ,但是定理 22.3 保證了屬於不同特徵值的特徵向量 ( 他們一定可以取成實向量

) 一定正交,並且可以證明:對任意一個重數為 d ( ≥1) 的特徵值λ,一定可以找到屬於特徵值λ的 d 個線性無關的特徵向量,通過

gram-schmidt

正交化過程,找到

d 個屬於特徵值λ的兩兩正交的特徵向量。這樣,我們可以得到 a 的n 個兩兩正交的特徵向量,在把它們單位化,就得到了 rn 的一個標準正交基,他們仍然是

a 的n

個線性無關的特徵向量,作為列向量構成正交陣 t 。

例1  求正交陣 t ,使t at = t

at 為對角陣,其中

a小結一下,求正交陣使實對稱矩陣正交相似於對角陣的具體演算法是:

(1)求出實對稱矩陣 a

的特徵多項式

δ (λ) = |λe-a|

=( λ- λ1 )

( λ- λ2 ) ...

( λ- λn )

其中(2)對每個特徵值λ

,求出齊次線性方程組

的基礎解系,

(注意,基礎解系所含的線性無關的解向量的個數是特徵值 的代數重數

), i=1,2......s.

(3)分別把屬於每個特徵值λ i 的

個線性無關的特徵向量標準正交化,得到 , i=1,2........s

.(4)取正交陣

t= 那麼

t at = t at

=diag()

3樓:匿名使用者

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