1樓:神級人氏
對稱矩陣也可以用一般的由特徵向量組成的非奇異陣做對角化,只不過它有特殊的性質(對稱),因此我們就可以考慮特殊的對角化,也就是正交相似對角化。這麼做有好處:正交矩陣的逆矩陣很容易求,就是它的轉置,不像一般的可逆陣需要半天才能求出來,如果是一個1000*1000的矩陣求逆,那要很長時間才能做完,但正交矩陣就太容易了,只要轉置一下就行了。
對稱矩陣:對稱矩陣(symmetric matrices)是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣。2023年,埃米特(c.
hermite,1822-2023年)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質,如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來,克萊伯施(a.clebsch,1831-2023年)、布克海姆(a.
buchheim)等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(h.taber)引入矩陣的跡的概念並給出了一些有關的結論。
2樓:生命的步履
一、實對稱矩陣
實對稱矩陣是一類很重要的矩陣,它具有一些特殊的性質,特別是,它可以正交相似於一個實對角陣。
引理 22.1
設a 是一個n
階實對稱矩陣,α ,
β 是任意的n
維實向量,那麼
(aα,β)=(α,aβ) ( 22-1)
定理 22.2
實對稱矩陣的特徵值都是實數。
定理 22.3
實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量一定正交。
二、實對稱矩陣的對角化
首先,由§ 2 0所介紹的關於特徵值與特徵向量的性質(7)可知
定理22.4 設 a
是n 階實對稱矩陣,
是a 的n 個特徵值(它們不必互不相同),那麼存在正交陣 t ,使
t at = t
at= .
定理並沒有告訴我們怎樣具體求出正交陣 t ,但是定理 22.3 保證了屬於不同特徵值的特徵向量 ( 他們一定可以取成實向量
) 一定正交,並且可以證明:對任意一個重數為 d ( ≥1) 的特徵值λ,一定可以找到屬於特徵值λ的 d 個線性無關的特徵向量,通過
gram-schmidt
正交化過程,找到
d 個屬於特徵值λ的兩兩正交的特徵向量。這樣,我們可以得到 a 的n 個兩兩正交的特徵向量,在把它們單位化,就得到了 rn 的一個標準正交基,他們仍然是
a 的n
個線性無關的特徵向量,作為列向量構成正交陣 t 。
例1 求正交陣 t ,使t at = t
at 為對角陣,其中
a小結一下,求正交陣使實對稱矩陣正交相似於對角陣的具體演算法是:
(1)求出實對稱矩陣 a
的特徵多項式
δ (λ) = |λe-a|
=( λ- λ1 )
( λ- λ2 ) ...
( λ- λn )
其中(2)對每個特徵值λ
,求出齊次線性方程組
的基礎解系,
(注意,基礎解系所含的線性無關的解向量的個數是特徵值 的代數重數
), i=1,2......s.
(3)分別把屬於每個特徵值λ i 的
個線性無關的特徵向量標準正交化,得到 , i=1,2........s
.(4)取正交陣
t= 那麼
t at = t at
=diag()
3樓:匿名使用者
可以,不過d的對角線上的元素是a的特徵值,即是與a相似的對角矩陣
實對稱矩陣對角化中,將基礎解系正交化單位化的意義何在
這樣求得的對角陣對角線上元素正好是特徵值,這種變化叫正交變換。否則,叫可逆變換,求得的對角陣上元素並不一定是特徵值。這樣能將二次型轉換為規範型。對稱矩陣對角化中,將基礎解系正交化單位化的意義何在?因為對角化是指diag 入.p 1ap,實二次型要求的是p tap diag 所以只有p 1 p t時,...
線性代數的對稱矩陣的對角化,關於定理5,這個正交矩陣p求出來後一定要單位化嗎
啥叫正交單位矩陣,沒有這個概念。你看看正交矩陣的定義,定義就表明了是必然單位化的。這是因為正交矩陣的列向量,行向量,都是單位向量。線性代數,矩陣對角化,為什麼圖中的p不用單位化 只要方陣a有n個線性無關的特徵向量都可以相似對角化,用於對角化的矩陣p可以可由n個線性無關的列向量組成,不必單位化。當然,...
實對稱矩陣行列式的值怎麼求,求方法
解 a e 2 2 2 2 5 4 2 4 5 r3 r2 消0的同時,還能提出公因子,這是最好的結果 2 2 2 2 5 4 0 1 1 c2 c3 2 4 2 2 9 4 0 0 1 1 2 9 8 按第3行,再用十字相乘法 1 2 11 10 10 1 2.等於特徵值的乘積是可以求解,但是也太...