1樓：匿名使用者
用放縮法
分子都是1,分母是1*1,2*2,3*3,4*4......n*n
把分母替換成1*1,1*2,2*3,3*4......(n-1)*n,這樣分母被縮小,分數值被放大,所以有
1+1/2²+1/3²+...+1/n²<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n-1)n
同理,把分母換成1*1,2*3,3*4,4*5......n*(n+1),分母被放大,分數值減小,所以有
1+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/n(n+1)<1+1/2²+1/3²+...1/n²
∵1+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/n(n+1)=1+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=3/2-1/(n+1)
1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n-1)n=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n
而當n→∞時,3/2-1/(n+1)和2-1/n的極限都存在
所以,夾在3/2-1/(n+1)和2-1/n之間的原式極限也存在,並且可以知道這個值位於3/2和2之間.
2樓：匿名使用者
但就這道題而言，題主沒學過級數的話。。
先用1/n2 ＜1/((n-1)×n)=(1/n-1)-1/n放大，證明放大後極限存在，然後，你再想想是不是就會了？
3樓：匿名使用者
這是p級數，p>1時都是收斂的。
書上有證明。
利用極限存在準則證明：當x→0+ 時，x［x分之一］的極限為一。
4樓：匿名使用者
分析：若 1/(n+1)0，存在d=min(e,1/2)
那麼任給x屬於(0,d) 存在整數n使得 1/(n+1)0+] x[1/x] =1
5樓：
結論就不對，是正無窮啊
問題，利用極限存在準則證明：當n趨於無窮，根號下1加n分之一的極限等
6樓：匿名使用者
1<√(1+1/n)<√(1+2/n+1/n²)=1+1/n
夾一下就行了
7樓：大連湯律師
證明：令a=lim(1+x)^(1/n),n→+∞則lna=lim[ln(1+x)]/n,n→+∞當1+x≠0，亦即x≠-1時，ln(1+x)是個有限大的實數；有0=lim[ln(1+x)]/n,n→+∞即lna=0，a=1所以1=lim(1+x)^(1/n),n→+∞
8樓：關楓太史又藍
樓主的提問應該加些條件，呵呵，如果x=-1的話，直接就為0了，何況1呢？
並且1+x若小於0，則情況未知，因為根號下的負數是沒有定義的
第2（2）題，利用單調有界收斂準則證明xn的極限存在
9樓：匿名使用者
證明：∵
x(n+1) =√[2+x(n)]
x(1)=√2
顯然，x(n)>0
[x(n+1)]² - [x(n)]²
=2+x(n)-[x(n)]²
=-[x(n) -2][x(n)+1]
假設：x(n)<2，那麼：
1°x(1)=√2<2
x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=22°令：n=k時，x(k)<2也成立，那麼當n=k+1時：
x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2因此：當n=k+1時，x(k+1)<2也成立！
綜上，x(n)<2
於是：[x(n+1)]² - [x(n)]²=2+x(n)-[x(n)]²
=-[x(n) -2][x(n)+1]>0∴x(n+1) >x(n)
對於數列：
1）x(n+1) >x(n)，數列單調遞增；
2）x(n)<2，該數列有上確界
∴數列極限存在！
設：lim(x→∞) x(n)=a
對x(n+1) =√[2+x(n)]兩邊求極限，於是：
a=√(2+a)
解得：a=2和-1
根據極限保號性，a=-1捨去，因此：
lim(x→∞) x(n)=2
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