1樓：匿名使用者
取c, d使a < c < x0 < d < b.
對任意y ∈ (x0,d), 對x0 < y < d由凸性有f(y) ≤ (y-x0)/(d-x0)·f(d)+(d-y)/(d-x0)·f(x0).
而對c < x0 < y由凸性有f(x0) ≤ (x0-c)/(y-c)·f(y)+(y-x0)/(y-c)·f(c),
重新整理得(y-c)/(x0-c)·f(x0)-(y-x0)/(x0-c)·f(c) ≤ f(y).
於是(y-c)/(x0-c)·f(x0)-(y-x0)/(x0-c)·f(c) ≤ f(y) ≤ (y-x0)/(d-x0)·f(d)+(d-y)/(d-x0)·f(x0).
當y → x0+時, 左右兩端 → f(x0), 故lim f(y)存在並等於f(x0), 即f(x)在x0右連續.
完全對稱的, 對任意y ∈ (c,x0), 分別對c < y < x0和y < x0 < d由凸性得:
(d-y)/(d-x0)·f(x0)-(x0-y)/(d-x0)·f(d) ≤ f(y) ≤ (y-c)/(x0-c)·f(x0)+(x0-y)/(x0-c)·f(c).
當y → x0-時, 左右兩端 → f(x0), 故lim f(y)存在並等於f(x0), 即f(x)在x0左連續.
於是f(x)在x0處連續.
注: 直觀上說, 凸性保證了過(x0,f(x0))與(y,f(y))的割線斜率關於y是單調增的.
因此對y ∈ (c,d), 割線的斜率是有界的(上界(f(d)-f(x0))/(d-x0), 下界(f(x0)-f(c))/(x0-c)).
函式在(x0,f(x0))附近的影象夾在一對對頂角區域內(或者說是領結狀).
當y趨於x0時, f(y)必然趨近於f(x0).
2樓：匿名使用者
f(x)在(a,b)內是凸函式
即存在f''(x)
即f'(x)在(a,b)內連續
因為存在f'(x)
所以f(x)在(a,b)內連續
所以f(x)在x0處連續
函式凸與凹的問題,凹函式和凸函式的問題
沒寫反,這裡的問題在於凸和凹的定義,不同的書是不一樣的,往往正好相反,原因在 內於看圖的容位置不同,你從曲面上面往下看,和從曲面下面往上看,凹凸性正好相反,所以凡是講到凹凸性的書,你都要仔細看看,它裡面的凹凸是如何定義的。凹函式和凸函式的問題 圖象可以判斷。用盛水法則 形象得要死 可以盛水的 凹 啊...
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