1樓：鍾離淑敏仙詞
一、向量的概念
日常中我們所遇到的量可以分為兩類：一類量用一個數值便可以完全表示，比如面積、溫度、時間或質量等都屬於這一類，這一類質量稱為數量（或標量）；另一類量，除了要用一個數以外，還要指明它的方向才能夠完全表示,比如速度、加速度、力等都屬於這一類，這一類的量稱
為向量（或向量）。
向量可以用一條有向線段形象地表示，線段的方向表示向量的方向，它的長度稱為向量的模。向量常記為(a→)，(b→)或a,
b等，有時也用(a→b)表示一個向量，a是起點，b是終點。從a到b的指向表示(a→)的方向。向量(a→b)的模記作|(a→b)|。
模等於零的向量叫做零向量，記作0或(0→)。零向量的方向可以看作是任意的。模等於1的向量叫做單位向量。
對於非零向量(a→)，我們用(a(0)→)表示a同向的單位向量，簡稱為a的單位向量。在直角座標系中，向量(o→m)
叫做點m的向徑，記做r或(r→)
。於是空間每一點m，對應著一個向徑
；反之，每一向徑r，對應著一個確定的點m。兩個向量的方向相同、模相等時，稱它們是相等的向量，記作(a→)
=(b→)
。因此，一個向量經過平移後與原向量相等。與的模相同而方向相反的向量叫做
的負向量，記作(a→)=-(c→)
。二、向量及運算
1、向量的加法
兩向量(o→a)
與(o→b)的和，是以這兩向量做相鄰兩邊的平行四邊形的對角線向量(o→c)
，記作(o→a)+(o→b)=(o→c)
這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則，由於平行四邊形的對邊平行且相等，我們還可以這樣來作出兩向量的和：作
(o→a)=(a→)。以(a→)的終點為起點作(b→)=(a→c)
，連線oc
，就得(o→c)
。這一方法叫做向量加法的三角形法則。向量的加法滿足交換律、結合律。如設有向量(a→)
，(b→)
即有(a→)+(b→)=(b→)+(a→)
[(a→)+(b→)]+(c→)=(a→)+[(b→)+(c→)]。
特別地，若(a→)
與(b→)
共線（平行或在同一條直線上），則規定它們的和是這一個向量：當(a→)
與(b→)
的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量的方向相同，其模等於兩向量的模的和；當(a→)
與(b→)
的指向相反時，和向量的方向與較長的向量的方向相同，而模等於較大向量的模減去較小向量的模。
2.向量的減法
減法是加法的逆運算，若(b→)+(c→)=(a→)
，則定義(c→)
為向量(a→)
與(b→)
之差，記作(c→)=(a→)-(b→)。
由於(a→)+[-(b→)]=(a→)-(b→)
，所以由加法的法則可得減法的相應法則：以(a→)及-(b→)
為鄰邊作平行四邊形，則對角線向量就是(c→)
。若(a→)
與(-b→)
的起點相同，由(b→)
的終點到(a→)
的終點所成的向量也為(a→)-(b→)。此法則稱為減法的三角形法則。
2樓：就這樣吧
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法ob+oa=oc。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
向量的減法
ab-ac=cb. 即「共同起點，指向被
向量的減法減」
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；
向量的數乘
當λ＜0時，λa與a反方向；
向量的數乘當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的座標表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的數量積的運算律
a·b=b·a（交換律）；
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這裡並不是乘號，只是一種表示方法，與「·」不同，也可記做「∧」）。若a、b不共線，則a×b的模是：
∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量沒有除法，「向量ab/向量cd」是沒有意義的。
3樓：寶蘭潮靜
解題思路索引：
1單位向量：模值為單位「1」向量。
2證基底即證兩個向量相互垂直,即向量點積為零。
3共線的話就是兩個算式向量的叉積為零，計算k即可。
具體解法：
（1）1*m-2*n=1
2*m+5*n=11
所以3(1,2)+(-2,5)=(1,11)即3a+b=c
（2）因為第一個問已經證明了a、b兩個向量可以是一組基地，那麼，就以a、b向量為基底構成一個座標系，那麼ka+b和4a+(k+1)b就可以表示為在以a、b為基底的座標系中的兩個向量（k,1）和(4,k+1)。那麼要使著兩個向量共線，則需要（k,1）×(4,k+1)=0
即：4k+k(k+1)+4+(k+1)=0,求解，可得k=-1或k=-5。
4樓：匿名使用者
向量運演算法則，你學會了嗎
向量的加減乘除運演算法則是什麼
5樓：紅醉卉單精
設a=（x，y），b=(x'，y')。
加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法
ob+oa=oc。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。減法如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0.
0的反向量為0ab-ac=cb.即「共同起點，指向被
向量的減法
減」a=(x,y)b=(x',y')
則a-b=(x-x',y-y').如圖：c=a-b
以b的結束為起點，a的結束為終點。數乘實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。當λ>0時，λa與a同方向當λ<0時，λa與a反方向；
向量的數乘
當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。注：
按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當λ>1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的∣λ∣倍當λ<1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量對於數的分配律（第一分配律）：
(λ+μ)a=λa+μa.數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：①
如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。②
如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。[2]需要注意的是：向量的加減乘除運算滿足實數加減乘除運演算法則。
數量積定義：已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π定義：
兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量（沒有方向），記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定義有：cos〈a，b〉=a·b
/|a|·|b|）；若a、b共線，則a·b=±∣a∣∣b∣。向量的數量積的座標表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的數量積的運算律a·b=b·a（交換律）(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的數量積的性質a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。
（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|
因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的數量積與實數運算的主要不同點1．向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2．向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3．|a·b|與|a|·|b|不等價4．由
|a|=|b|
，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過來則成立。向量積定義：兩個向量a和b的向量積
向量的幾何表示
（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這裡「×」並不是乘號，只是一種表示方法，與「·」不同，也可記做「∧」）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：
垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b平行，則a×b=0，a、b垂直，則a×b=|a|*|b|（此處與數量積不同，請注意）。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。
運演算法則：運用三階行列式設a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量a=(x1,y1,z1)b=（x1,y1,z1）則a*b=a
bcx1
y1z1x1
y1z1向量的向量積性質：∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。a×a=0。
a平行b〈=〉a×b=0向量的向量積運算律a×b=－b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.（a+b）×c=a×c+b×c.上兩個分配律分別稱為左分配律和右分配律。
在演算中應注意不能交換「×」號兩側向量的次序。如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是錯誤的！
注：向量沒有除法，「向量ab/向量cd」是沒有意義的。
向量的加減乘除怎麼算向量的加減乘除運演算法則是什麼
1 向量的加法 滿足平行四邊形法則和三角形法則，即 2 向量的減法 如果a b是互為相反的向量，那麼a b，b a，a b 0.0的反向量為0oa ob ba.即 共同起點，指向被減 例如 a x1,y1 b x2,y2 則a b x1 x2,y1 y2 3 向量的乘法 實數 和向量a的叉乘乘積是一...
分式運演算法則,分式的運演算法則
分式乘法法則是分bai式的運算 du法則之一,法則是 用分子zhi的dao積作為積的分子,分母的積作為版積的分母權 並將乘積化為既約分式或整式,作分式乘法時,也可先約分後計算。注意事項有 1 分式乘除法的運算,歸根到底是乘法運算,由乘法法則,應先把分子 分母分別相乘,化成一個分式後再進行約分,但在實...
分式的運演算法則求分式的定義，運演算法則
分式乘法法則是分式的運演算法則之一，法則是 用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，並將乘積化為既約分式或整式，作分式乘法時，也可先約分後計算。注意事項有 1 分式乘除法的運算，歸根到底是乘法運算，由乘法法則，應先把分子 分母分別相乘，化成一個分式後再進行約分，但在實際演算時，這樣做有時顯得繁...