1樓：0o智
一、數的發展簡史
數是各種具體的量的抽象．從歷史上看,人類對於數的認識,大體上是按照以下的邏輯順序進行的:
自然數(添正分數)-→正有理數(添零)-→非負有理數(添負數)
-→有理數(添無理數)-→實數(添虛數)-→複數
自然數的產生，起源於人類在生產和生活中計數的需要．開始只有很少幾個自然數，後來隨著生產力的發展和記數方法的改進，逐步認識越來越多的自然數．這個過程大致可以分為三個階段．在第一階段，物體集合的性質，是由物體間的直接比較確定的．我國古代傳說的結繩記數便屬於這一階段.在第二階段,出現了數詞，如三頭牛、五隻羊等等．這時，還沒能把單個的數從具體物體的集合中分離出來．在第三階段，認識到每一個單個的數,是物體集合的一種性質，把數從具體物體的集合中分離出來，形成了抽象的自然數(正整數)概念，並有了代表它的符號．從某種意義上說，幼兒認識自然數的過程，就是人類祖先認識自然數的過程的再現．
隨著生產的發展，在土地測量、天文觀測、土木建築、水利工程等活動中，都需要進行測量．在測量過程中，常常會發生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產生自然數不夠用的矛盾．這樣，正分數就應運而生．據數學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經記有關於正分數的問題．引進正分數,這是數的概念的第一次擴充套件．
最初人們在記數時，沒有「零」 的概念．後來，在生產實踐中,需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產生了位值制記數法．有了這種記數法，零的產生就不可避免的了．我國古代籌算中，利用 「空位」表示零.公元6世紀，印度數學家開始用符號「0」表示零. 但是，把「0」作為一個數是很遲的事．引進數0，這是數的概念的第二次擴充．
以後,為了表示具有相反意義的量,負數概念就出現了．我國是認識正、負數最早的國家，《九章算術》中就有了正、負數的記載．在歐洲，直到17世紀才對負數有一個完整的認識．引進負數，這是數的概念的第三次擴充．
數的概念的又一次擴充淵源於古希臘。公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯(pythagqras，約公元前580～前500)學派發現了單位正方形的邊長與對角線是不可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數值，導致了無理數的產生．當時只是用幾何的形象來說明無理數的存在，至於嚴格的實數理論，直到19世紀70年代才建立起來．引進無理數，形成實數系，這是數的概念的第四次擴充．
數的概念的再一次擴充，是為了解決數學自身的矛盾．16世紀前半葉，義大利數學家塔爾塔利亞發現了三次方程的求根公式，膽地引用了負數開平方的運算，得到了正確答案．由此，虛數作為一種合乎邏輯的假設得以引進，並在進一步的發展中加以運用,成功地經受了理論和實踐的檢驗，最後於18世紀末至19世紀初確立了虛數在數學中的地位．引進虛數，形成複數系，這是數的概念的第五次擴充．
上面,我們簡要地回顧了數的發展過程．必須指出，數的概念的產生，實際上是交錯進行的．例如，在人們還沒有完全認識負數之前，早就知道了無理數的存在；在實數理論還未完全建立之前,經運用虛數解三次方程了．
直到19世紀初，從自然數到複數的理論基礎，並未被認真考慮過．後來，由於數學嚴密性的需要以及公理化傾向的影響，促使人們開始認真研究整個數系的邏輯結構．從19世紀中葉起，經過皮亞諾(g．peano，1855～1939)、康托爾(g．cantor，1845～1918)、戴德金(r．dedekind，1831～1916)、外爾斯特拉斯(k.weierstrass，1815～1897)等數學家的努力，完成了建立整個數系的邏輯工作．
近代數學關於數的理論，是在總結數的歷史發展的基礎上，用代數結構的觀點和比較嚴格的公理系統加以整理而建立起來的.作為數的理論系統的基礎，首先要建立自然數系，然後逐步加以擴充套件．一般採用的擴充套件過程是
n--------→z--------→q--------→r--------→c
(自然數集) (整數集) (有理數集) (實數集) (複數集)
科學的數集擴充，通常採用兩種方法：一是新增元素法，即把新元素新增到已建立的數集中去；二是構造法,即從理論上構造一個集合，然後指出這個集合的某個真子集與先前的數集是同構的．
中、小學數學教學中，為了適應學生的年齡特徵和接受能力,關於數系的擴充，主要是滲透近代數學觀點，採用新增元素並強調運算的方法來進行的．其擴充過程是:
自然數集(添零)→擴大的自然數集(添正分數)→算術數集(添負有理數)
→有理數集(添無理數)→實數集(添虛數)→複數集
數系的每一次擴充，都解決了一定的矛盾，從而擴大了數的應用範圍．但是，數系的每一次擴充也會失去某些性質．例如，從自然數系 n 擴充到整數系 z 後，z 對減法具有封閉性，但失去n 的良序性質，即n 中任何非空子集都有最小元素．又如，由實數系r 擴充到複數系c 後，c 是代數閉域，即任何代數方程必有根,但失去了r的順序性，c 中元素已無大小可言．
數系擴充到複數系後，能否繼續擴充?這個問題的答案是有條件的．如果要求完全滿足複數系的全部運算性質,那麼任何擴充都是難以成功的．如果放棄某些要求，那麼進一步的擴充是可能的．比如，放棄乘法交換律，複數系c可以擴充為四元數系h,如果再適當改變對乘法結合律的要求，四元數系h 又可擴充為八元數系ca 等等．當然,在現代數學中，通常總是把「數」理解為複數或實數，只有在個別情況，經特別指出，才用到四元數．至於八元數的使用就更罕見了．
2樓：匿名使用者
人類是動物進化的產物，最初
也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。
比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。
我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。
這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。
古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鐘上還常常使用。
實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：i（代表1）、v（代表5）、x（代表10）、l（代表50）、c代表100）、d（代表500）、m（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。
它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：
1．重複次數：一個羅馬數字符號重複幾次，就表示這個數的幾倍。如："iii"表示"3"；"***"表示"30"。
2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"vi"表示"6"，"dc"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"iv"表示"4"，"xl"表示"40"，"vd"表示"495"。
3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。
按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。
從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進位制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。
這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。
比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。
不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。
說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。
"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。
"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。
如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇**而且守舊。
他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。
但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字符號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。
如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。
除了十進位制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進位制、二進位制、三進位制、七進位制、八進位制、十進位制、十六進位制、二十進位制、六十進位制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進位制最終佔了上風。
現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進位制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。
數的概念、數碼的寫法和十進位制的形成都是人類長期實踐活動的結果。
隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。
中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。
隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。
如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2023年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。
因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使"數"不那樣完整了。
但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為x，既然，推導的結果即x2=2。
他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理x2=12+12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？
希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守祕密。
而希帕索斯還是忍不住將這個祕密洩露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。
人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。
有理數和無理數一起統稱為實數。在實數範圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。
許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數**算就像走在死衚衕中那樣處處碰壁。
於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是複數。
在很長一段時間裡，人們在實際生活中找不到用虛數和複數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。
數的概念發展到虛和複數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是2023年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。
它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對"多元數"理論的研究。
多元數已超出了複數的範疇，人們稱其為超複數。
由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的範疇，但若歸入超複數中不太合適，所以，人們將複數和超複數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。儘管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷髮展這一點上意見是一致的。
到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。
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