1樓：小周子
第三章「數列」教材分析
本章是數列，特別是等差數列與等比數列，有著較為廣泛的實際應用 如各種產品尺寸常要分成若干等級，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級，比如鞋的尺碼；當其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(這種情況是多數)，常按等比數列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等 特別值得一提的是，數列在產品尺寸標準化方面有著重要作用 數列在整個中學數學教學內容中，處於一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯絡，過去學過的數、式、方程、函式、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而學習數列又為後面學習數列與函式的極限等內容作了鋪墊 課本採取將代數、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯絡，而數列正是在將各知識溝通方面發揮了重要作用 由於不少關於恆等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數學問題都與等差數列、等比數列有關，學習這一章便於對學生進行綜合訓練，從而有助於培養學生綜合運用知識解決問題的能力
本章教學約需17課時，具體分配如下：
3.1 數列 約2課時
3.2 等差數列 約2課時
3.3 等差數列前n項和 約2課時
3.4 等比數列 約2課時
3.5 等比數列前n項和 約2課時
研究性課題：分期付款中的有關計算 約3課時
小結與複習 約4課時
一、內容與要求
本章從內容上看，可以分為數列、等差數列、等比數列三個部分
在數列這一部分，主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法 關於數列的概念，先給出了一個描述性定義，爾後又在此基礎上，給出了一個在對映、函式觀點下的定義，指出：「從對映、函式的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函式當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值」 這樣就可以將數列與函式聯絡起來，不僅可以加深對數列概念的理解，而且有助於運用函式的觀點去研究數列 關於給出數列的兩種方法，其中數列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函式的解析式 點破了這一點，數列與函式的內在聯絡揭示得就更加清楚 此外，正如並非每一函式均有解析表示式一樣，也並非每一數列均有通項公式(有通項公式的數列只是少數)，
因而研究遞推公式給出數列的方法可使我們研究數列的範圍大大擴充套件 遞推是數學裡的一個非常重要的概念和方法，數學歸納法證明問題的基本思想實際上也是「遞推」 在數列的研究中，不僅很多重要的數列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數列的遞推公式，然後再根據它推得通項公式 但是，這項內容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數列的性質，從數列的遞推公式推導通項公式等，這樣就會加重學生負擔 考慮到學生是在高一學習，我們必須牢牢把握教學要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數列的思想，能根據遞推公式寫出一個數列的前幾項就行了
在等差數列這一部分，在講等差數列的概念時，突出了它與一次函式的聯絡，這樣就便於利用所學過的一次函式的知識來認識等差數列的性質：從圖象上看，為什麼表示等差數列的各點都均勻地分佈在一條直線上，為什麼兩項可以決定一個等差數列(從幾何上看兩點可以決定一條直線) 在推導等差數列前n項和的公式時，突出了數列的一個重要的對稱性質：與任一項前後等距離的兩項的平均數都與該項相等，認識這一點對解決問題會帶來一些方便
在等比數列這一部分，在講等比數列的概念和通項公式時也突出了它與指數函式的聯絡 這不僅可加深對等比數列的認識，而且可以對處理某類問題的指數函式方法和等比數列方法進行比較，從而有利於對這些方法的掌握
二、本章的特點
(一)在啟發學生思維上下功夫
本章內容，是培養學生觀察問題、啟發學生思考問題的好素材，使學生在獲得知識的基礎上，觀察和思維能力得到提高
在問題的提出和概念的引入方面，為了引起學生的興趣，在本章的「前言」裡用了一個有關國際象棋棋盤的古代傳說作為引入的例子 它用一個涉及求等比數列的前n項和的麥粒數的計算問題給學生造成了一個不學本章知識、難獲問題答案的懸念，又在學了等比數列後回過頭來解開這個懸念；在講等差數列與等比數列的概念時，都是先寫出幾個數列，讓學生先觀察它們的共同特點，然後在歸納共同特點的基礎上給出相應的定義
在推導結論時，注意發揮它們在啟發學生思維方面的作用 例如在講等差數列前n項和的公式時，沒有平鋪直敘地推導公式，而是先提出問題：
1+2+3+...+100 = ?，並指出著名數學家高斯10歲時便很快算出它的結果，以激發學生的求解熱情，然後讓學生在觀察高斯演算法的基礎上，發現上述數列的一個對稱性質：
任意第k項與倒數第k項的和均等於首末兩項的和，從而為順利地推導求和公式鋪平了道路
在例題、習題的表述方面，適當配備了一些採用疑問形式的題，以增加問題的啟發成分 如3.3 例4：「已知數列的通項公式為 =pn十q，其中p、q是常數，那麼這種數列是否一定是等差數列?
如果是，其首項與公差是什麼?」 又如:「如果一個數列既是等差數列，又是等比數列，那麼這個數列有什麼特點？
」這樣就增加了題目的研究性 在講有些例題時，加了一小段「分析」，通過不多的幾句話點明解題的思路 如對於上面提到的「3.3 例 4」，加的一段「分析」是：「由等差數列定義，要判定 是不是等差數列，只要看 是不是一個與n無關的常數就行了」 話雖不多，但突出了 「從定義出發」這種最基本的證明方法
課 題：3.1 數列的一般概念（一）
教學目的：
⒈理解數列及其有關概念，瞭解數列和函式之間的關係.
⒉瞭解數列的通項公式，並會用通項公式寫出數列的任意一項
⒊對於比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式
教學重點：數列及其有關概念，通項公式及其應用，前n 項和與an的關係
教學難點：根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式
授課型別：新授課
課時安排：1課時
教 具：多**、實物投影儀
內容分析：
本節主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法 關於數列的概念，先給出了一個描述性定義，爾後又在此基礎上，給出了一個在對映、函式觀點下的定義，指出：「從對映、函式的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函式當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值」 這樣就可以將數列與函式聯絡起來，不僅可以加深對數列概念的理解，而且有助於運用函式的觀點去研究數列 關於給出數列的兩種方法，其中數列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函式的解析式 點破了這一點，數列與函式的內在聯絡揭示得就更加清楚 此外，正如並非每一函式均有解析表示式一樣，也並非每一數列均有通項公式(有通項公式的數列只是少數)
教學過程：
一、複習引入：
1．函式的定義．
如果a、b都是非空擻 集，那麼a到b的對映 就叫做a到b的函式，記作： ，其中
2．在學習第二章函式的基礎上，今天我們來學習第三章數列的有關知識，首先我們來看一些例子：
4，5，6，7，8，9，10． ①
1， ， ， ， ，…. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③
1，1.4，1.41，1.414，…. ④
-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤
2，2，2，2，2，…. ⑥
觀察這些例子，看它們有何共同特點？（啟發學生發現數列定義）
上述例子的共同特點是：⑴均是一列數；⑵有一定次序.
從而引出數列及有關定義
二、講解新課：
⒈ 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.
注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就是不同的數列；
⑵定義中並沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重複出現.
⒉ 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，….
例如，上述例子均是數列，其中①中，「4」是這個數列的第1項（或首項），「9」是這個數列中的第6項.
⒊數列的一般形式： ，或簡記為 ，其中 是數列的第n項
結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義. ②中，這是一個數列，它的首項是「1」，「 」是這個數列的第「3」項，等等
下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關係？這一關係可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發現數列的通項公式）對於上面的數列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關係：
項↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序號 1 2 3 4 5
這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式： 來表示其對應關係
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項
結合上述其他例子，練習找其對應關係
如：數列①： =n+3(1≤n≤7)；數列③： ≥1）；
數列⑤： （n≥1）
⒋ 數列的通項公式：如果數列 的第n項 與n之間的關係可以用一個公式來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的通項公式.
注意：⑴並不是所有數列都能寫出其通項公式，如上述數列④；
⑵一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是 ，也可以是 .
⑶數列通項公式的作用：①求數列中任意一項；②檢驗某數是否是該數列中的一項.
從對映、函式的觀點來看，數列也可以看作是一個定義域為正整數集n*（或它的有限子集）的函式，當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值，數列的通項公式就是相應函式的解析式.
對於函式，我們可以根據其函式解析式畫出其對應圖象，看來，數列也可根據其通項公式畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數列①，②的圖象，並總結其特點.
在畫圖時，為方便起見，直角座標系兩條座標軸上的單位長度可以不同. 數列①、②的圖象分別如圖1，圖2所示.
5．數列的影象都是一群孤立的點.
6．數列有三種表示形式：
列舉法，通項公式法和圖象法.
7． 有窮數列：項數有限的數列.例如，數列①是有窮數列.
8．無窮數列：項數無限的數列. 例如，數列②、③、④、⑤、⑥都是無窮數列.
數學歸納法不能證明，數學歸納法的使用範圍 能不能用數學歸納法證明 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 n
將該題改一下形式,可用數學歸納法證明,證明了原題的結論.試證 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n 1 1 2 n 1.證明 當n 1時,1 2 1 1 2 1,命題成立.當n k時命題成立,考慮n k 1時的情況,由歸納法假設得 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n 1 2 n 1 1...
數學歸納法的概念！！高人進
要驗證某某公式是錯的，只要舉一個數值證明它是錯的就夠了。但是證明一條公式是對的，是不可能窮舉所有有效數值的，所以用數學歸納法。當n 第一個值1的時候，公式成立 當n取一個值k時候成立 當n k 1時候也成立，那麼公式就成立。於是構成一個迴圈，1成立了，根據後面第二步第三部，那麼2也成立，2成立了那麼...
1 用數學歸納法證明1 3n 112 求證 a的 n 1）次方 a 1 的 2n 1 次方
證明 當n 1時，1 2 1 3 1 4 13 12 1，結論成立。假設當n k時結論成立，即 sk 1 k 1 1 k 2 1 3k 1 1 我們來證明n k 1時，結論也成立 我們會證明s k 1 sk 因為s k 1 1 k 2 1 k 3 1 3k 4 1 k 1 1 k 2 1 3k 1 ...