1樓：匿名使用者
將該題改一下形式,可用數學歸納法證明,證明了原題的結論.
試證:1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n<1.
證明 當n=1時,1/2=1-1/2<1,命題成立.當n=k時命題成立,考慮n=k+1時的情況,由歸納法假設得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1
於是n=k+1時命題成立.
"五樓的回答雖然是用了數學歸納法，其實這不能這麼說，因為他沒有用到n=k 的歸納假設，並不是用了歸納法"回答這個說法.
當n=k時命題成立,才有/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n
於是得1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1
2樓：陳
把1寫成一個等比數列的和式
1=1/2+1/4+1/8+..........
準確說上面是大於號的
那麼結論顯然啊
這個也是解決不等式的構造數列的常見方法
3樓：
首先，對不起，一開始沒用數學歸納法是因為不能理解你的敘述，因為我認為你要求不用數學歸納法來證明。
其次，我認為你的題目大概是要證明
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
而不是1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n <1
那麼我們現在用數學歸納法來證明：1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
你只要把這個命題變一下就可以證明了，你證明出1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n =1-1/2^n就可以了，相信這個證明對你而言是很簡單的。而1-1/2^n<1。
也就是1-1/2^n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1。
凡是有確定極限或邊界的不等式證明，你只要通過證明這個極限和邊界的存在就可以證明不等式的成立。而我認為你說的單純通過數學歸納法來證明原不等式命題確實不行。
如果你學過等比數列，那麼就好辦了
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n
=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=1-1/2^n<1
如果你沒學過，你可以想象一樣東西，你拿掉一半，再拿掉剩下的一半，再拿剩下的一半......無論你重複多少次，也不可能拿掉比最開始全部的還要多
4樓：匿名使用者
數學歸納法應該是1.當n=1的時候成立.2.當n=k成立時,n=k+1時也成立
首先,n=1時,顯然是成立的
若n=k的時候成立,即 (1/2*(1-(1/2)^k))/(1-1/2)=1-(1/2)^k<1成立時,
那麼n=k+1即1-(1/2)^(k+1)=1/2*(1-(1/2)^k)+1/2<1/2+1/2=1
那n=k+1時成立.
為什麼會覺得不能用數學歸納法,實際上沒掌握數學歸納法的實際意義.
其實這道題本可以用正常的證明,不需要用數學歸納法.
數學歸納法的用途是在難以證明n=k時成立(也就是說無法證明對於每一個數都成立).時,用到的.
實際上,很多思想也和數學歸納法有關,但並不一樣,如上面的解的過程中,認為1個小於1的數乘以1/2所得的積總比1小.而數學歸納法是在給出一個複雜的式子,你不管代什麼數它都成立,你卻說不出為什麼時,就可以用數學歸納法算算了.
5樓：冬天的花語
有兩種小學生應該也會懂的方法
方法一：設我有一根木棒，長度設為一個單位，鋸一半給你，這時你有1/2，（我剩1/2根木棒）
我從剩下的1/2中再鋸一半給你，這時你有1/2+1/4，（我剩1/4根木棒）
我從剩下的1/4中再鋸一半給你，這時你有1/2+1/4+1/8，……，
第n次時，我手中總是剩下1/n根木棒，而你有1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1-1/n<1
方法二：設我有一張正方形紙，設面積為1，撕一半給你，
第二次再撕剩下的一半，……同上理，我最後剩1/n，而你只能得1-1/n<1
6樓：匿名使用者
首先 像這類題你是可以用數學歸納法證明的 當然看你願不願意數學歸納法運用的條件就是： 是正整數 n趨於無窮大 有這兩個條件就可以適用數學歸納法證明了 方法相信lz肯定知道 這就不多說了
然後像這類題一般用極限方法做是會很快得出結果的 到了高三就會學的極限現在先教你這個公式 ：等比數列中求和公式s=a1(1-q^n)/1-q
當0＜q＜1時 你可以發現 ：當n取無窮大時 q^n將趨於0所以我們可以將公式化為：s=a1/1-q(0＜q＜1)所以就很容易將上面的式子進行簡單化簡得出結果希望這樣說明對你會有幫助
新年快樂哈~
7樓：言寶
數學歸納法處理的證明題所在的數學模型一般為單調函式,其單調性應當與要證明的不等式有對應的關係(比如說,f(x)為增函式,要證的是f(n)(n為整數)≥某數k),當所要證明的不等式與題中所給的函式模型無此對應關係時,用數學歸納法就沒有意義了:
比如說樓主的命題,我們可以知道1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n +1/(n+1)＞1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n 但這對我們證明這道題有幫助麼?
沒有。因為我們要得出的是一個小於關係，這種大於關係無法進行變形。所以說這道題只能通過其他手段來解決，比如樓上說的等比數列求和公式等等。
另外說一句,這道題不能說不能用數學歸納法證明,而是用不著,用了等於沒用。
因為我也很喜歡數學歸納法，所以希望以後和樓主多多討論
8樓：栩箭
n趨近無窮大且為正整數時, 1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n正好等於1
9樓：
1/2=1-1/2
1/2+1/4=1-1/4
1/2+1/4+...1/n=1-1/n<1很明顯啊。
10樓：
同意四樓的,這種用冪級數做相當快,而且你學下去就知道如何把看似很難的不等式證明變成簡單的,在高中主要就是等差,等比數列的變形
11樓：匿名使用者
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n+1/n-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-2)+1/(n-2)-1/n
: : : :
=1/2 + 1/4 + 1/8 +1/8-1/n=1/2 + 1/4 +1/4-1/n
=1-1/n<1
12樓：
不知道 你是不是大學生 用級數很好證明的~ r<1時 級數收斂~
你到大學時候就明白了~高等數學的知識
數學歸納法的使用範圍 能不能用數學歸納法證明： 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<2
13樓：
數學歸納法一般用於與正整數有關的命題。
本題不能直接用數學歸納法證明，需要使右邊也帶n才行。
比如可先證n=1時成立，再用數學歸納法證明當n>1時，1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<2-1/n。
這類題一般用放縮法較好：當n>1時，1/n^2<1/[n(n-1)]= 1/(n-1) -1/n。
所以，當n>1時，1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+[1/(n-1) -1/n]=2-1/n<2，
綜上知原不等式成立。
14樓：匿名使用者
不能直接用數學歸納法. 不過, 可以用數學歸納法證明: 當n>=1時, 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<=2-1/n. 然後適當放縮來證明你的結論.
15樓：匿名使用者
數學歸納法一般是在出現無窮累計的情況下應用。上題可以用，但是應用之後證明過程比較複雜了。直接應用普通方法證明就可以。
1/2^2<1/(1*2)
1/3^2<1/(2*3)
....
1/n^2<1/((n-1)*n)
把上面的式子相加
用數學歸納法證明,怎麼用數學歸納法證明
詳見解析 試題分析 由數學歸納法證明不等式的一般步驟可內知 第一步應驗容證初值 用數學歸納法證明 當n 1時,抄x1 2 2,成立 假設當n k時,xk 2 則當n k 1時,x k 1 2 xk 2 2 2,成立 所以對任意n,xn 2 因為x n 1 2 xn 0,所以0有界又因為x n 1 x...
用數學歸納法證明，用數學歸納法證明 1 2 3 n n（n 1）
1 n 1時，左 1，右 1 2 2 1 所以，等式成立 2 假設n k時等式成立，即1 2 k k k 1 2 則，1 2 k k 1 k k 1 2 k 1 k 1 k 2 2 k 1 k 1 1 2 n k 1時，結論也成立 等式對一切n n 成立 首先驗證當n 1時，左邊 右邊 接著，假設n...
用數學歸納法證明
1 n 1時，左邊 a1 2b1 2 右邊 a1 2b1 2，左邊 右邊，命題成立。2 假設n k時命題成立，即 a1 2 a2 2 ak 2 b1 2 b2 2 bk 2 a1b1 a2b2 akbk 2。3 求證n k 1時命題成立。a1 2 a2 2 ak 2 a k 1 2 b1 2 b2 ...