1樓：匿名使用者
在「p關於x為奇函式，則∫p(x,y)dx=0」這句話裡，p(x,y)是對dx積分。
而在「q關於x為偶函式，則∫q(x,y)dy =0」這句話裡q(x,y)是對dy積分。
如果你將q(x,y)換成p(x,y)，則必須將對稱關係從x換成y。你可說：「q關於y為奇函式，則∫q(x,y)dy=0；p關於y為偶函式，則∫p(x,y)dx =0」。
換句話說，如果被積函式在一個給定的積分域內，是關於某個軸的奇函式，則在這個軸上積分時，積分結果為零。即，若p關於x為奇函式，則∫p(x,y)dx=0；若q關於y為奇函式，則∫q(x,y)dy=0。可是，如果q(x,y)是對dy積分，但q(x,y)是對x軸有對稱性，則可證明當q(x,y)是關於x為偶函式時，有∫q(x,y)dy =0。
同理，若p(x,y)是對dx積分，但是對y軸呈對稱性，則可證明，當p(x,y)是關於y的偶函式時，則∫p(x,y)dx=0。說了這麼多，但願沒把你弄糊塗。
(參與101)
2樓：欽勝巫馬韻詩
第一個問題：二型線積分的曲線段ds（向量形式的）是有方向的這與一型的ds不同，就像你說到的向量ds=dx（點乘）向量i+dy（點乘）向量j，這裡呢dx,dy那就是隻代表大小的，方向是由i，j分別代表x,y軸的。第二個問題：
對於定積分的dx表示自變數的變化，它可正可負的，可以理解成標量的，定積分只是有著很強的自己的幾何意思就是有符號的曲邊梯形的面積的，另外就是定積分的積分限互換積分值變號這點你不用去從定積分的定義也即分割近似求和取極限那裡去想，事實上我們對於這個包括積分限相等時積分值為0這兩條是規定下來為統一討論積分運算方便的。定積分這裡的dx不像重積分，一型線面積分那樣有著自己的意義的。
檢視原帖》
3樓：匿名使用者
哈哈哈，說實話上面那個之前沒看懂就沒管了，之後自己看了第二類曲面積分的對稱性後恍然大悟，通俗點的，其實就是因為第二類積分是以各軸分向量如曲線中的x，y軸表示（曲面是x,y,z三軸），你就得兩軸分開看（無論是曲線積分還是曲面積分）你仔細觀察就會發現（ps：書上有圖，一定要把積分域的圖畫出來才好理解，多遠函式積分的理解圖很重要），當l關於y軸對稱的時候，按對稱座標軸將l按l的方向分為l1與l2，x軸方向隨l的方向一致；而y會在l1增加（減少），在l2減少（增加）。因此像李永樂那個證明中關於y軸對稱（y方向有改變所以需要分塊進行積分），因此對y積分會有，積分割槽間(a->b)與(b->a)一次對符號的改變，又因為奇函式符號又改變一次，可以看成分塊l2正負號受到兩次影響(一次來自積分割槽間的相反，一次來自奇函式的影響)符號又變回正，自然這種情況下是奇函式2倍，偶函式為0；而依然是l關於y對稱，但對x積分，x方向不會變，因此不用分塊都行，即使分塊表示也不會因為方向而改變其中一塊積分符號的正負，因此受到奇函式影響只改變一次符號，那麼就是奇函式則為0，偶函式為2倍！
對於第二類曲面積分是一個道理，只是換成了積分域曲面的方向向量與z軸正向的夾角是正還是負.仔細想一下對比一下關於第二類曲線或曲面積分的對稱性就很好理解了。
高數問題：第二型曲線積分的對稱性是怎麼樣的？
4樓：溪橋
1、第二類曲線積分中有關於對稱性的結論（積分曲線關於y軸對稱的情形）。
2、第二類曲線積分中關於對稱性的結論（積分曲線關於x軸對稱的情形）。
3、然後利用對座標的曲線積分的物理意義（變力沿曲線作功）給出上述部分結論的解釋。
4、在利用對稱性結論計算第二類曲線積分的典型例題（本題為考研試題）。
5樓：匿名使用者
不能一概而論說「第二型曲面積分的對稱性和第一型是反的」，總之結論要謹慎下，還要看積分變數和曲面的「側」。
例如對於∫∫<σ>rdxdy曲面σ關於xoy座標面對稱，側剛好相反，那麼就有r關於z的奇倍偶零。
而曲面σ關於xoy座標面對稱，側剛好相反，對於∫∫<σ>pdzdy，那麼對於p根本沒有必要討論其奇偶性。
第二型曲線積分有類似性質∫pdx+qdy+rdz，若l關於xoy座標面對稱，那麼只有對第三項∫rdz才能有r關於z的奇倍偶零。
第二類曲線積分這四個關於對稱性的結論怎麼理解？
6樓：啊前看金牛
第一個問題：二型線積分的曲線段ds（向量形式的）是有方向的這與一型的ds不同，就像你說到的向量ds=dx（點乘）向量i+dy（點乘）向量j，這裡呢dx,dy那就是隻代表大小的，方向是由i，j分別代表x,y軸的。
高等數學 第二類曲線積分 對稱性的問題 我覺得答案有問題 請給出詳細步驟
7樓：
沒有錯誤，曲線的方程是y=0，x從0到2a。代入y=0到被積分式中，剩下(-bx)dx從0到2a積分
第二類曲線積分 對稱性 怎麼直觀理解 5
8樓：匿名使用者
第二類曲線積分不建議用對稱性解題。
9樓：長青1號
曲線走向錯了……第二個小圖應該逆時針、等式才成立
高等數學 第二類曲線積分對稱性問題 曲線積分和重積分對稱性質類似 題中被積函式不是關於y 和
10樓：風起雲相依
第二類曲線積分
實質上就是計算力沿著路徑做功。被積函式對應的是力的大小的函式，力的方向由積分曲線的方向決定。現在積分路徑是一個高度對稱的圖形，被積函式也是。
如果你在積分曲線某一邊上取一點，該點處的被積函式值，與它關於x軸、y軸、原點的對稱點處的被積函式值是相等的，這四個點處曲線的方向雖然不同，但是向量和為0，所以功的總和為0，也就是積分結果為0。
所以是不是被積函式是偶函式不一定就是疊加為2倍，這裡還要考慮到路徑方向的。
11樓：匿名使用者
兩部分abc和cba，他們一個是沿著x軸正向一個是負向（走向相反，相當於調換積分上下限），關於x對稱說明他們絕對值相等，所以第一個積分是0；
第二個道理是一樣的
求詳細介紹關於高數第一類第二類曲線曲面積分 對稱性 以及輪換對稱性謝謝大家了！
12樓：你愛的是小灰嗎
1、第一型曲面積分：又稱對面積的曲面積分
定義在曲面上的函式關於該曲面的積分。第一型曲線積分物理意義**於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。
2、第二型曲面積分是關於在座標面投影的曲面積分，其物理背景是流量的計算問題。
第二型曲線積分與積分路徑有關，第二型曲面積分同樣依賴於曲面的取向，第二型曲面積分與曲面的側有關，如果改變曲面的側(即法向量從指向某一側改變為指另一側)，顯然曲面積分要改變符號，注意在上述記號中未指明哪側。
必須另外指出，第二型曲面積分有類似於第二型曲線積分的一些性質。
3、數學上，對稱性由群論來表述。群分別對應著伽利略群，洛倫茲群和u(1)群。對稱群為連續群和分立群的情形分別被稱為連續對稱性和分立對稱性。
德國數學家威爾(hermann weyl)是把這套數學方法運用於物理學中並意識到規範對稱重要性的第一人。
4、積分輪換對稱性是指座標的輪換對稱性，簡單的說就是將座標軸重新命名，如果積分割槽間的函式表達不變，則被積函式中的x,y,z也同樣作變化後，積分值保持不變。
擴充套件資料：
1、對稱操作：
當分子有對稱中心時，從分子中任意一原子至對稱中心連一直線，將次線延長，必可在和對稱中心等距離的另一側找到另一相同原子，即每一點都關於中心對稱。依據對稱中心進行的對稱操作為反演操作，是按照對稱中心反演，記為i；n為偶數時in=e，n為奇數時in=i
反軸：反軸in的基本操作為繞軸轉360°/n，接著按軸上的中心點進行反演，它是c1n和i相繼進行的聯合操作：i1n=ic1n； 繞in軸轉360°/n，接著按中心反演。
映軸：映軸sn的基本操作為繞軸轉360°/n，接著按垂直於軸的平面進行反映，是c1n和σ相繼進行的聯合操作： s1n=σc1n；繞sn軸轉360°/n，接著按垂直於軸的平面反映。
2、第一型曲面積分和第二型曲面積分的區別
1、第一類沒方向,有幾何意義和物理意義；第二類有方向,只有物理意義。
2、一類曲線是對曲線的長度,二類是對x,y座標.例已知一根線的線密度,求線的質量,就要用一類.已知路徑曲線方程,告訴你x,y兩個方向的力,求功,就用二類.
二類曲線也可以把x,y分開,一二類曲線積分之間就差一個餘弦比例。
一二類曲面積分割槽別，一類是對面積的積分,二類是對座標的.如已知面密度,求面質量,就用一類.已知x,y,z分別方向上的流速和麵方程,求流量,就用第二類.
同理,x,y,z方向也是可以分開的。
13樓：夏娃的夏天
1、第一型曲面積分：
定義在曲面上的函式關於該曲面的積分。第一型曲線積分物理意義**於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。
又稱：對面積的曲面積分；
物理意義：空間曲面s的「質量」。
2、第二型曲面積分：
第二型曲面積分：是關於在座標面投影的曲面積分，其物理背景是流量的計算問題。
第二型曲線積分與積分路徑有關，第二型曲面積分同樣依賴於曲面的取向，第二型曲面積分與曲面的側有關。
如果改變曲面的側(即法向量從指向某一側改變為指另一側)，顯然曲面積分要改變符號，注意在上述記號中未指明哪側，必須另外指出，第二型曲面積分有類似於第二型曲線積分的一些性質。
3、對稱性：
數學上，對稱性由群論來表述。
群分別對應著伽利略群，洛倫茲群和u(1)群。對稱群為連續群和分立群的情形分別被稱為連續對稱性（continuous symmetry）和分立對稱性(discrete symmetry)。
德國數學家威爾(hermann weyl)是把這套數學方法運用於物理學中並意識到規範對稱重要性的第一人。
當分子有對稱中心時，從分子中任意一原子至對稱中心連一直線，將次線延長，必可在和對稱中心等距離的另一側找到另一相同原子，即每一點都關於中心對稱。
依據對稱中心進行的對稱操作為反演操作，是按照對稱中心反演，記為i；n為偶數時in=e，n為奇數時in=i。
4、積分輪換對稱性：
它是指座標的輪換對稱性，簡單的說就是將座標軸重新命名，如果積分割槽間的函式表達不變，則被積函式中的x,y,z也同樣作變化後，積分值保持不變。
擴充套件資料：
曲面積分：
定義在曲面上的函式或向量值函式關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。
第一型曲面積分物理意義**於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義**對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。
第二型曲面積分的物理背景是流量的計算問題。設某流體的流速為v=((p(x，y，z)，q(x，y，z)，r(x，y，z))從某雙側曲面s的一側流向另一側，求單位時間內流經該曲面的流量。
由於是有向曲面，設它的單位法向量為n=(coα，cosβ，cosγ)，取曲面面積微元ds，則所求的單位時間內流量微元就是de=(v·n)ds。
鏡面對稱：
鏡面是平分分子的平面，在分子中除位於經面上的原子外，其他成對地排在鏡面兩側，它們通過反映操作可以復原。
反映操作是每一點都關於鏡面對稱，記為σ；n為偶數時σn=e，n為奇數時σn=σ。和主軸垂直的鏡面以σh表示；通過主軸的鏡面以σv表示；通過主軸，平分副軸夾角的鏡面以σd 表示。
積分輪換對稱性特點及規律：
(1) 對於曲面積分，積分曲面為u(x,y,z)=0，如果將函式u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x後，u(y,z,x)仍等於0，即u(y,z,x)=0，也就是積分曲面的方程沒有變。
那麼在這個曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(y,z,x)ds；如果將函式u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,x,z後，u(y,x,z)=0，那麼在這個曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(y,x,z)ds；
如果將函式u(x,y,z)=0中的x,y,z換成z,x,y後，u(z,x,y)=0，那麼在這個曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(z,x,y)ds ，同樣可以進行多種其它的變換。
(2) 對於第二類曲面積分只是將dxdy也同時變換即可 ，比如：
如果將函式u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x後，u(y,z,x)=0，那麼在這個曲面上的積分：
∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。
(3) 將(1)中積分曲面中的z去掉，就變成了曲線積分滿足的輪換對稱性:積分曲線為u(x,y)=0，如果將函式u(x,y)=0中的x,y換成y,x後，仍滿足u(y,x)= 0，那麼在這個曲線上的積分 ∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；
實際上如果將函式u(x,y)=0中的x,y換成y,x後，仍滿足u(y,x)=0，則意味著積分曲線關於直線y=x對稱 。第二類三維空間的曲線積分跟（2）總結相同同。
但第二類平面上的曲線積分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一個負號）
(4) 二重積分和三重積分都和(1)的解釋類似，也是看積分域函式將x,y,z更換順序後，相當於將座標軸重新命名，積分割槽間沒有發生變化，則被積函式作相應變換後，積分值不變。
請教高數問題 第二類曲線積分，用格林公式求閉合曲面的時候遇到不連續點
你自己圈的那個l1圍成的區域包含不連續點，當然不可用格林公式，可用普通方法，例如用引數方程化簡。通常關於l1這曲線積分是比較容易求出的，所以才有 l l l1 l1 至於圓裡圓當然可以再用格林公式，不過又要在小圓裡面畫個小圓，這樣無限畫圓圈沒意思，倒不如畫了一個小圓，然後令其半徑趨向0，但是像你老師...
高數積分問題第二類曲線積分為什麼有兩個被積函式，它們關係是？對座標的線積分的幾何意義是什麼
如圖所示 第二類曲線積分是有方向性的，二元有兩個方向，dx和dy，三維加入dz。所以dx方向是向量函式f x，y 作用於x軸的分量，dy和dz也一樣。沒有純幾何意義的考慮，多用於強調方向性的工作，例如做功，磁場等等。若要說上關係的話，這個green公式也聯絡了二重積分。尤其是面積公式 高等數學 隱函...
如何證明重積分輪換對稱性，關於二重積分的輪換對稱性問題
1 對於曲面積分，積分曲面為u x,y,z 0，如果將函式u x,y,z 0中的x,y,z換成y,z,x後，u y,z,x 仍等於0，即u y,z,x 0，也就是積分曲面的方程沒有變，那麼在這個曲面上的積分 f x,y,z ds f y,z,x ds 如果將函式u x,y,z 0中的x,y,z換成y...