1樓：thinking4娛樂
下面的例子用對稱性的方法來求圓球的體積。設球心在原點（0，0，0），球的半徑為r。球面方程可寫為：
x²+y²+z²=r² ... (1)球的體積公式可用下面的二重積分表示：
∫∫zdxdy ... (2)
(2)中的zdxdy是一個微小的體積元。其中z是這個微小體積的高，dxdy是這個微小體積的底面積。由(1)得：
z=√（r²-x²-y²） .... (3)將(3)代入（2）得：
∫∫√（r²-x²-y²）dxdy ... (4)對(4)式積分後可得到此球在xy平面以上半個球的體積，其積分域是x²+y²≤r²的圓形區域。根據球的對稱性可知，xy，xz，yz三個平面將此球分割成8個相等的體積。
我們只要對其中一個體積求積分乘以8就可以了。比如，我們可在由x˃0,y˃0和x²+y²≤r²圍城的扇形區域上積分，然後乘以8即可。同理，也可在x<0,y˃0和x²+y²≤r²圍城的扇形區域，或x<0,y<0和x²+y²≤r²圍城的扇形區域，或x˃0,y<0和x²+y²≤r²圍城的扇形區域積分。
根據球形對稱性可知，在這些積分割槽域，z的形狀都是一樣的。 這裡所謂對稱性，是指函式z的對稱性。
2樓：細川
樓主你把對被積函式的對稱性和積分割槽域的對稱性搞混了……
偶倍奇零對稱性永遠都是針對被積函式的結論……
被積函式關於x軸對稱，我當然可以把原二重積分化為關於變數y的二重積分的兩倍啊。被積函式就是二重積分裡面的「高」嘛，人家又沒說是積分割槽域關於誰誰誰對稱被積函式就咋咋咋樣了……回去好好看下你的高數書。
利用二重積分計算體積。 x+y+z=3,x^2+y^2=1,z=0 希望能給出詳細的解答過程。越詳細越好，謝謝了
二重積分被積函式如果是奇函式 為什麼為0 體積不是不能抵消的嗎？二重積分難道還分純計算和算面積？
3樓：匿名使用者
你這個問題是不恰當的，雖說被積函式是奇函式，如果它的積分割槽域不關於原點對稱的話，那麼定積分是不等於0的。
只有在被積函式是奇函式，且它的積分割槽域是關於原點對稱的話，那麼定積分是等於0的。
在二重積分中被積函式是關於x是奇函式，積分割槽域是關於y軸對稱的，那麼它的積分是0
如果二重積分中被積函式是關於y是奇函式，且積分割槽域是關於x軸對稱的，那麼它的積分是0.
你所說的二重積分表示的是體積，那是它的幾何意義，規定當被積函式f(x,y)<0時，二重積分求得的體積是負的。
4樓：匿名使用者
1.f(x)為奇函式在[-a,a]的定積分為0面積=f(x)的絕對值在[-a,a]的定積分2.二重積分利用對稱性計算：被積函式關於x是奇函式，在關於y軸對稱的區域上積分為0；
在這個區域上的體積，也是被積函式的絕對值的積分
二重積分為什麼是求體積的？
5樓：匿名使用者
二重積分中dxdy表示面積微元，而體積=底面積×高，所以當被積函式f(x,y)表示空間區域的高時，這個二重積分的幾何意義即為曲頂柱體的體積。
特別地，當被積函式f(x,y)=1，體積=底面積×高=底面積×1=底面積，那麼其數值上恰好等於積分割槽域的面積，所以二重積分也能計算面積。
二重積分對稱性定理 怎麼從根本上去理解
6樓：河傳楊穎
1、如果積分割槽域關
bai於x軸對稱du
被積函式是關於y的奇函zhi數 ，等於0；被積函式關dao於y的偶函式，
回等於2倍。
2、如果積分割槽答域關於y軸對稱
被積函式是關於x的奇函式 ，等於0；被積函式關於x的偶函式，等於2倍。
3、如果積分割槽域關於x，y軸對稱
被積函式是關於想x，y的奇函式 ，等於0； 被積函式關於x，y的偶函式，等於2倍。
二重積分意義
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
幾何意義
在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
例如二重積分：
其中表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積。
7樓：我的我451我
1、如果積來
分割槽域關於x軸對稱源
被積函式bai
是關於duy的奇函式 ，等zhi於0；被積函式關於y的偶函式，等於2倍。dao
2、如果積分割槽域關於y軸對稱
被積函式是關於x的奇函式 ，等於0；被積函式關於x的偶函式，等於2倍。
3、如果積分割槽域關於x，y軸對稱
被積函式是關於想x，y的奇函式 ，等於0； 被積函式關於x，y的偶函式，等於2倍。
8樓：允爾陽
二重積分的概念與性質，你看懂點沒
9樓：微言悚聽
如果積分割槽域
bai關於
x軸對稱,被積函式
du是關於
zhiy的奇函式 ,等於dao0
被積函式關於y的偶版函式,等於2倍.
如果積分權區域關於y軸對稱,被積函式是關於x的奇函式 ,等於0被積函式關於x的偶函式,等於2倍.
如果積分割槽域關於x,y軸對稱,被積函式是關於想x,y的奇函式 ,等於0
被積函式關於x,y的偶函式,等於2倍.
10樓：天蠍夏目
按照二重積分幾何意義去理解
11樓：匿名使用者
看與對稱軸相反的未知量，如果是奇函式就是0，如果是偶函式就是2倍。
急求二重積分立體體積,急求二重積分立體體積
需要畫圖來看。一個朝下的圖形和一個朝上的圖形圍成 一個立體,二重積分的被積函式確實內 是朝下的容圖形減去朝上的圖形 一般的情形是,比較圍成立體的兩個曲面的上下位置關係,被積函式是上方圖形的方程z z2 x,y 減去下方圖形的方程z z1 x,y 答 最好能先做出圖形。要算出它們相交的平面,然後看哪個...
利用二重積分的幾何意義計算二重積分a Sqrt x 2 y 2 ）d，D x 2 y 2 a 2,a》
由二重積分的幾何意義知所求積分是以d為底面，a x 2 y 2 為頂的立體的體積 z a x 2 y 2 表示的是以 0,0,a 為頂點的錐面 所以原積分 1 3 a 3 分成兩部分計算 b d 表示一個圓柱的體積，圓柱的底圓為x y a 高為b，因此體積為 a b x y d 表示一個圓柱中挖去一...
求二重積分，利用幾何意義如何用二重積分的幾何意義求二重積分？
拋物面abc的面積s 曲頂柱體的體積v 4 3 2 8 3 事實上，利用幾何意義求二重積分的值就是求曲頂 柱體的體積，本題中的曲頂柱體底面是矩形，曲頂是柱面z 1 x 2,它的母線平行於y軸，就上面蓋了一塊瓦當，想象一下超市賣的長麵包哈哈哈。現在換一個角度看這個立體，把xoz平面上的一塊側面看成是底...