1樓：戒貪隨緣
原題是:已知橢圓e:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為1/2,且經過p(1,3/2),直線l:
y=kx+m不經過該點p,與橢圓交與ab兩點, 求△abo的面積最大值.
由已知a=2c且b=(√3)c且(1/a^2)+(9/(2b)^2)=1
解得a=2,b=(√3)
橢圓方程:x^2/4+y^2/3=1
設a(x1,kx1+m),b(x2,kx2+m)
向量oa=(x1,kx1+m),向量ob=(x2,kx2+m)
由向量法求三角形面積公式得△oab的面積
s=(1/2)|x1·(kx2+m)-x2·(kx1+m)|=(1/2)|m||x1-x2|
由x^2/4+y^23=1且y=kx+m消去y並化簡得
(4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12=0
當△=(8km)^2-4(4k^2+3)(4m^2-12)=48((4k^2+3)-m^2)>0時
設t=m^2/(4k^2+3),則m^2=(4k^2+3)t,且0≤t<1
|m||x1-x2|=|m|(√△)/(4k^2+3)=(4√3)(√(m^2)(4k^2+3)-m^4)/(4k^2+3)
=(4√3)(√(4k^2+3)^2·t-(4k^2+3)^2·t^2)/(4k^2+3)
=(4√3)√(t(1-t))
≤(4√3)(t+(1-t)))/2 (t=1/2時取「=」)
=2√3
即△oab的面積s≤(1/2)·(2√3)=√3
當t=m^2/(4k^2+3)=1/2 即2m^2=4k^2+3 取「=」
因直線l不過(1,3/2),滿足2m^2=4k^2+3的(m,k)應將m+k=3/2的值除外.
所以△abo面積的最大值是√3。
希望能幫到你！
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