1樓：匿名使用者
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
2樓：
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
證明:由兩數立方和公式:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2+3(n-2)+1……………………………………
3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +12^3 -1^3=3*1^3 +3*1 +1^3以上等式的兩邊分別相加得到
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)
+(1+1+1+……+1)
∴3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n
=(n+1)(n^2+2n-3n/2-n)=(n+1)n(n+1/2)
=n(n+1)(2n+1)/2.
∴1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
不能用等差，等比數列解
和立方公式(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3
3樓：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解題過程如下：
解：因為（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1
則（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式兩邊同時求和得，
（n+1）^3-1^3
=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
擴充套件資料：
數列求和的方法
1、公式法
（1）等差數列求和公式：sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n
（2）等比數列求和公式：sn=na1（q=1）、sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）
（3）自然數求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2
2、錯位相減法
3、倒序相加法
4、分組法
5、裂項相消法
（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）
（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））
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