1樓：kyoya六
證明：（1）當n=1時，左側=1 ，右側=2 1<2 不等式成立 （2）假設n=k時，不等式成立 ，既 1+1/根號2+1/根號3+。。。+1/根號k<2根號k 則n=k+1時，1+1/根號2+1/根號3+...
+1/根號k+1/根號k+1 < 2根號k + 1/根號k+1 2根號k + 1/根號k+1 -2根號k+2 =2(根號k-根號k+1)+1/根號k+1 = -2/（根號k+1 + 根號k）+1/根號k+1 通分得 （根號k - 根號k+1）/根號k+1(根號k+1 + 根號k) <0 (2根號k + 1/根號k+1 ) < 2根號k+2 所以原不等式成立 由（1）（2）可知對任意自然數n ,原不等式均成立。
2樓：手機使用者
1.當n=1時 左=1 右=2 顯然1＜2 成立 2.設n=k時成立 右1+1/√2+1/√3+…+1/√k＜2√k 則n=k+1時 左=1+1/√2+1/√3+…+1/√n+1/√（k+1） ＜2√k+1/√（k+1）=2√（k+k）/√（k+1） ＜2√（k+2k+1）/√（k+1） =2√（k+1） 故n=k+1時成立 由1.
2可得原式成立
用數學歸納法證明：1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號<2根號n 求詳解
3樓：哇哎西西
令n=k時，成立，1+1/√
2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；
當n=k+1時，版上式左邊=1+1/√權2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右邊=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。
4樓：匿名使用者
當n=1時，左邊=1<2=右邊，不等式成立；
假設當n=k時不等式成立，
即1+1/√2+1/√3+....+1/√k<2√k （1）下證當n=k+1時也成立
（1）兩邊專同時加1/√(k+1)得：
左邊=1+1/√2+1/√3+....+1/√k+1/√(k+1)<2√k+[1/√(k+1)]=[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1) （2）
下面證明：2√k*√(k+1)+1<2(k+1)即證：2√k*√(k+1)<2k+1
兩邊平方，即屬證：4k(k+1)<4k²+4k+1，此式顯然成立，因此2√k*√(k+1)+1<2(k+1)對於（2）
左邊<[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1)<2(k+1)/√(k+1)=2√(k+1)=右邊
因此當n=k+1時，不等式成立，證畢。
5樓：匿名使用者
n=1時 左邊du=1 右邊=2 成立zhi假設n=k時成立
即1+1/√
dao2+1/√3+.....+1/√k<2√k那麼n=k+1時
左邊版=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)
<2√k +1/√(k+1)
=2√k + 2/ 2√(k+1)
<2√k +2/[√(k+1) +√k]
=2√k +2√(k+1) -2√k
=2√(k+1)
即n=k+1時也成權立
所以對一切 n∈n*，均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n
6樓：匿名使用者
證明：當n=1時，1＜
2成立。 假設當版n=k，1+1/根號權2+1/根號3+...+1/根號k＜2根號k 成立；則當n=k+1時，1+1/根號2+1/根號3+...
+1/根號k+1/根號(k+1）＜2根號k+1/根號(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1＜k+k+1+1（此處運用均值不等式因為k不可能等於k+1，所以等號不成立）.而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因為k+1=k+1，所以取等），∴2√k√(k+1)+1＜2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)∴當n=k+1時，1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號(k+1）＜2根號(k+1)成立∴對於任何n∈n+ 此不等式均成立。
7樓：匿名使用者
n=1時 1<2√
1=2成立
若當daon=k時，版1+1/√權2+...+1/√k<2√k成立則當n=k+1時，1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
因為2√(k+1)-2√k
=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)
=2/(√(k+1)+√k)
>2/(2√(k+1))
=1/√(k+1)
所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1)，得證
8樓：匿名使用者
^^用縮bai放說 f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^dun)-1-n/2 g(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1/2-n f(1)=1+1/2-1-1/2=0 若zhif(n)≥0 f(n+1)=1+1/2+1/3+...
+1/(2^n)-1-n/2+1+n/2-1-(n+1)/2+1/(2^n +1)+…dao1/2^(n +1) 而f(n)≥0 1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) ≥[2^(n+1)-2^n-1+1]/2^(n+1)=1/2 f(n+1)≥0
9樓：鞠天國
1 n=1時,顯然成立
2 假設n=k時成立 即
1+1/更號回2+…+1/根號
答k<1/根號k
n=k+1時
左邊=(1+1/根號2+…+1/根號k)+1/根號k+1<2根號k+1/根號k+1
2根號k+1- (2根號k+1/根號k+1)=2(根號k+1-根號k)-1/根號k+ 1=2( (根號k+1-根號k)*( 根號k+1+根號k))/ (根號k+1+根號k) -1/根號k+ 1
=2/ (根號k+1+根號k)-1/根號k+1>2/ (根號k+1+根號k+1)-1/根號k+1=0所以左邊- 2根號k+1<0
即左邊《右邊
綜上所述 成立
用數學歸納法證明：1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號n<2根號n 5
10樓：匿名使用者
n=2時，1+1/√2<2√2，成立
設，1+1/√2+…+1/√n<2√n
則有：1+1/√2+…+1/√n+1/√(n+1)<(2√n)+(1/√(n+1))
而(2√n)+(1/√(n+1))
=((2√n)*√(n+1)+1)/√(n+1)=(2√(n(n+1))+1)/√(n+1)=(2√(n(n+1))-1+2)/√(n+1)<(2n+2)/√(n+1)
最後一步要單獨比較
2√(n(n+1))-1<2n
而這是簡單的
所以綜上n>=2時，
原題得證
11樓：匿名使用者
令n=k時，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；
當n=k+1時，上式左邊=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右邊=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。
12樓：
設f(n)=2(√(n+1)-1)
g(n)= 1+1/√2+1/√3+....+1/√nh(n)= 2√n
a=f(n)- f(n-1)=2(√(n+1)-√n)=2/(√(n+1)+√n)
b=g(n)-g(n-1)=1/√n=2/(2√n)通過a b的比較，可知ab
h(1)=2 所以，h(1)>g(1)所以，h(n)>g(n)
綜上所述 2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n
13樓：匿名使用者
設k=n時原不等式成立,則k=n+1時,左=1+1/根號2^3+1/根號3^3+....+1/根號n^3+1/根號(n+1)^3
≤3-2/根號n+1/根號(n+1)^3
下證-2/根號n+1/根號(n+1)^3≤-2/根號(n+1)而根號(n+1)+根號n≤2根號(n+1)根號n≤根號(n+1)
根號(n+1)≤根號(n+1)
3個式子相乘有
[根號(n+1)+根號n]根號n(n+1)≤2根號(n+1)^3所以2/[根號(n+1)+根號n]根號n(n+1)≥2/2根號(n+1)^3
14樓：
不用數學歸納法也可證明。
只須利用不等式
1√n＜2(√n-√(n-1))
用數學歸納法證明:1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)≤n 要詳細的，拜託了
15樓：希望教育資料庫
證明：當n=2時
1+1/2+1/3
<1+1/2+1/2
=1+1=2
成立若n=k時有
1+1/2+1/3+…+1/2^k-11)
用數學歸納法證明:1+1/2+1/3+……+1/2^n>(n+2)/2 (n≥2)
16樓：匿名使用者
不是 >應 該是≥吧？ 這樣表示很不清晰，靜下心看吧
1·n=1時 左邊=1+1/2=3/2 右邊=（1+2）/2=3/2 左邊= 右邊 不等式成立
2·假設n=k（k≥1）時不等式也成立，即1+1/2+1/3+.......+1/2^k> （k+2）/2 那麼k=k+1時，
1+1/2+......+1/2^（k+1）=1+1/2+1/3+.......+1/2^k+1/（2^k+1）+1/（2^k+2）……+1/（2^k+2^k）
＞（k+2）/2 +1/（2^k+1）+1/（2^k+2）……+1/（2^k+2^k）
《注意分母放大了》 ＞（k+2）/2 +1/（2^k+2^k）+1/（2^k+2^k）……+1/（2^k+2^k） 《1/（2^k+2^k ）有2^k個哦》 =（k+2）/2+（2^k）*1/（2^k+2^k ）
=（k+2）/2+1/2=[（k+1）+2]/2
即k=k+1時，不等式也成立
由1 2得，對任意自然數n不等式都成立。
17樓：瘦子插班生
樓上注意啊。n＞=2啊。
用數學歸納法證明，用數學歸納法證明 1 2 3 n n（n 1）
1 n 1時，左 1，右 1 2 2 1 所以，等式成立 2 假設n k時等式成立，即1 2 k k k 1 2 則，1 2 k k 1 k k 1 2 k 1 k 1 k 2 2 k 1 k 1 1 2 n k 1時，結論也成立 等式對一切n n 成立 首先驗證當n 1時，左邊 右邊 接著，假設n...
1 用數學歸納法證明1 3n 112 求證 a的 n 1）次方 a 1 的 2n 1 次方
證明 當n 1時，1 2 1 3 1 4 13 12 1，結論成立。假設當n k時結論成立，即 sk 1 k 1 1 k 2 1 3k 1 1 我們來證明n k 1時，結論也成立 我們會證明s k 1 sk 因為s k 1 1 k 2 1 k 3 1 3k 4 1 k 1 1 k 2 1 3k 1 ...
用數學歸納法證明,怎麼用數學歸納法證明
詳見解析 試題分析 由數學歸納法證明不等式的一般步驟可內知 第一步應驗容證初值 用數學歸納法證明 當n 1時,抄x1 2 2,成立 假設當n k時,xk 2 則當n k 1時,x k 1 2 xk 2 2 2,成立 所以對任意n,xn 2 因為x n 1 2 xn 0,所以0有界又因為x n 1 x...