1樓:夏de夭
設出h關於h交k的左陪集分解式,證明k在hk中的左陪集代表系可以與h交k在h中的代表系相同。然後分別計算h與hk的階。
設g是一個群,h,k是g的子群且h在g中的指數有限,求證:k∩h在k中的指數也有限
2樓:夏de夭
)|利用已知的條件[g:h]有限,證明[k:(k交h)]<=[g:h]:
令a={k(k交h)|k屬於k},b={ah|a屬於g},令f:k(k交h)—>kh,則f顯然是a到b的對映,現證明f為單射:令k1h=k2h,則k1^(-1)k2屬於h,所以k1^(-1)k2屬於k交h,所以k2(k交h)=k1(k1^(-1)k2)(k交h)=k1(k交h),所以f是單射,所以|a|<=|b|,從而[k:
(k交h)]<=[g:h],所以[k:(k交h)]有限
還有大神給出直接做陪集分解的方法,
設k=k1(k交h)∪k2(k交h)∪...為k的左陪集分解若k1h=k2h,則k1^(-1)k2屬於k交h,所以k1=k2所以若k1不等於k2則k1h與k2h交為空集從而k1h、k2h、...均包含在g的左陪集分解式中,所以[k:(k交h)]<=[g:h]
3樓:匿名使用者
後一種方法有問題:k1-1k2\inh交k,不能得到k1=k2
群論問題求助:h和k是群g的正規子群,且hk=g。證:g/(h∩k) 是 到(g/h) × (g/k)的同構。 5
4樓:登興有譙水
(1)。看任意襲k∈k.k=g^-1hg,
h∈h.
h是子群,h^-1∈h.
從而k^-1=(g^-1hg)^-1=g^-1(h^-1)g∈k.1又設:j=g^-1rg∈k,r∈h.
kj=(g^-1hg)(g^-1rg)=g^-1hjgh是子群,hj∈h,從而kj∈k.2.從12,k也是子群。
(2)。作h到k的對映f:h→f(h)=g^-1hg.容易驗證f是h到k的單全射,並且
f(h^-1)=(f(h))^-1,f(hj)=f(h)f(j)[h、j∈h]
[驗證就留給樓主啦!]
∴f是h與k之間的一個(群)同構對映。即h與k是(群)同構的。
5樓:匿名使用者
首先羅嗦一句:
>>>g/(h∩k) 是bai 到(g/h) × (g/k)的同du構書上真zhi的是這樣dao寫的嗎?
一個供您內參考的思路:定義從g到直積(g/h) × (g/k)的同態 f 為標準同容態的"積":
f (x) = (xh,xk)
顯然 f 的核是 h∩k.為利用同態基本定理,只要說明 f 是滿射.
任取x,y 屬於g,注意 g=hk=kh 從而 可以把 y* x 寫成 kh 的形式 [這裡y*表示y的逆元素 y^(-1)].於是
x h* = y k
令這個元素為z,則(xh,yk)=(zh,zk)=f(z).
若H和K都是群G的正規子群，並且H與K的交為e,則hk kh對任意的h屬於H和任意的k屬於K成立
要證明hk kh，只copy需證明hkh 1 baik 1 e即可 因為duh k均為g的正規子群 所以對任意的h屬於zhih 任dao意的k屬於k，有hkh 1 屬於k，從而hkh 1 k 1 hkh 1 k 1 屬於k 且khk 1 屬於h，從而hkh 1 k 1 h khk 1 h 所以hkh...
設G是群，H，K是G的子群且H在G中的指數有限，求證 K H在K中的指數也有限
利用已知的條件 g h 有限，證明 k k交h g h 令a k k交h k屬於k b ah a屬於g 令f k k交h kh，則f顯然是a到b的對映，現證明f為單射 令k1h k2h，則k1 1 k2屬於h，所以k1 1 k2屬於k交h，所以k2 k交h k1 k1 1 k2 k交h k1 k交h...
H,K是群G的兩個子群，且兩個子群互不包含，求證KUH一定不是G的子群
因為h k互不包來含，所以自必然存在h屬於h但h不屬於k，k屬於k但k不屬於h，則k h均屬於k並h 若k並h是子群，則kh屬於k並h，則kh屬於k或h，若kh屬於k，則k 1 kh h屬於h，這與h不屬於k矛盾，同理有kh不屬於h，從而kh不屬於k並h，矛盾 所以k並h不是g的子群 抽象代數定理 ...