1樓：夏de夭
因為h、k互不包來含，所以自必然存在h屬於h但h不屬於k，k屬於k但k不屬於h，則k、h均屬於k並h
若k並h是子群，則kh屬於k並h，則kh屬於k或h，若kh屬於k，則k^（-1）（kh）=h屬於h，這與h不屬於k矛盾，同理有kh不屬於h，從而kh不屬於k並h，矛盾
所以k並h不是g的子群
抽象代數定理：設h,k是群g的兩個子群，則hk <= g <==> hk=kh
2樓：鍾學秀
人家結來論要證明
不是說要證明源hk <= g <==> hk=kh嘛。那所以就是hk 是g的子群當且僅當hk=kh咯。你沒有充分讀透題目要幹嘛（一般不能保證是子群，但這裡題目中要證的就是為子群的充要條件）
由推論1可以知道hk 是g的子群當且僅當hkhk=hk且(hk)^(-1)=hk。
而h^(-1)=h, k^(-1)=k, (hk)^(-1)=k^(-1)h^(-1)=kh這個總是成立的，即不管是不是子群都成立。於是如果hk 是g的子群，顯然就必須有hk=kh（這個方向證明我們只需要結論中其一）；
反過來如果hk=kh，我們知道(hk)^(-1)=hk，同時可以驗證hkhk=hhkk=hk（這個性質必須驗證成立才能得到子群的結論）所以hk為子群。
進而結論成立。
設g是一個群，h，k是g的子群且h在g中的指數有限，求證:k∩h在k中的指數也有限
3樓：夏de夭
）|利用已知的條件[g:h]有限，證明[k:（k交h）]<=[g:h]：
令a=｛k（k交h）|k屬於k｝，b=｛ah|a屬於g｝，令f：k（k交h）—>kh，則f顯然是a到b的對映，現證明f為單射：令k1h=k2h，則k1^（-1）k2屬於h，所以k1^（-1）k2屬於k交h，所以k2（k交h）=k1（k1^（-1）k2）（k交h）=k1（k交h），所以f是單射，所以|a|<=|b|，從而[k:
（k交h）]<=[g:h]，所以[k：（k交h）]有限
還有大神給出直接做陪集分解的方法，
設k=k1（k交h）∪k2（k交h）∪…為k的左陪集分解若k1h=k2h，則k1^（-1）k2屬於k交h，所以k1=k2所以若k1不等於k2則k1h與k2h交為空集從而k1h、k2h、…均包含在g的左陪集分解式中，所以[k:（k交h)]<=[g:h]
4樓：匿名使用者
後一種方法有問題：k1-1k2\inh交k，不能得到k1=k2
離散數學群論，g是一個群，h是g的一個子群，h僅有2個相異的左陪集，求證h是一個正規子群。
5樓：匿名使用者
這是一來個很經典的群論習
源題，也不難。
h只有兩個左陪集：h和gh
那麼g=h ∪ gh，而且|h|=|g|/2，所以h也只能有兩個右陪集：h和hg'
而且g=h ∪ hg'，所以gh=hg'
現在任取x∈g
如果x∈h，那麼xh=hx=h
如果x∉h，那麼xh≠h，所以xh=gh。同樣，hx≠h，所以hx=hg'
所以xh=gh=hg'=hx
所以h是正規子群
抽象代數定理設H,k是群G的兩個子群,則HKGHkKH
人家結來論要證明 不是說要證明源hk g hk kh嘛。那所以就是hk 是g的子群當且僅當hk kh咯。你沒有充分讀透題目要幹嘛 一般不能保證是子群,但這裡題目中要證的就是為子群的充要條件 由推論1可以知道hk 是g的子群當且僅當hkhk hk且 hk 1 hk。而h 1 h,k 1 k,hk 1 ...
設G是群，H，K是G的子群且H在G中的指數有限，求證 K H在K中的指數也有限
利用已知的條件 g h 有限，證明 k k交h g h 令a k k交h k屬於k b ah a屬於g 令f k k交h kh，則f顯然是a到b的對映，現證明f為單射 令k1h k2h，則k1 1 k2屬於h，所以k1 1 k2屬於k交h，所以k2 k交h k1 k1 1 k2 k交h k1 k交h...
設h和k是群g的兩個有限子群證明hkhkhk
設出h關於h交k的左陪集分解式,證明k在hk中的左陪集代表系可以與h交k在h中的代表系相同。然後分別計算h與hk的階。設g是一個群,h,k是g的子群且h在g中的指數有限,求證 k h在k中的指數也有限 利用已知的條件 g h 有限,證明 k k交h g h 令a k k交h k屬於k b ah a屬...