方程123420的整數解的個數是多少其中

2021-05-13 16:29:23 字數 1345 閱讀 9382

1樓:匿名使用者

(x1-3)+(x2-1)+x3+(x4-5)=20-9=11

(11-1)c(4-1)=120 (隔板法)

對於方程 x1+x2+x3+x4 = 30,有多少滿足x1>=2,x2>=0,x3>=-5,x4>=8,的整數解?

2樓:匿名使用者

當x1=2,x2=0,x3=-5,x4=8時,

30-(x1+x2+x3+x4)=30-(2+0+(-5)+8)=25,

所以相當於把25個1分割成4部分,每部分至少有0個1。

若4部分都至少有1,則為c(22,3)=1540;

若3部分都至少有1,剩餘1部分為0,則為c(4,3)×c(23,2)=1012;

若2部分都至少有1,剩餘2部分為0,則為c(4,2)×c(24,1)=144;

若1部分至少有1,剩3部分為0,則為c(4,3)×c(25,0)=4。

總計1540+2012+144+4=3700種整數解。

3樓:僧秀榮琦書

樓上的想法比較正確,但是有錯誤,利用隔板法在12個空隙中插3個板,運用c(12,3)這樣做忽略了兩個板插在一個空隙裡的情況。比如(0,1,2,3)這組解,利用這種演算法就是求不出的。就是說,如果用組合算,每一個數至少會加上1.

所以我用一下這種方法來解,就可以消除這些丟解情況。

首先,要將x1、x2、x3、x4分別取到最小值-1的值,即-1、0、1、2

-1+0+1+2=2

此時還剩下17-2=15個「1」。有16個空,運用隔板法。

此時運用組合,由於每個數再加上的數都至少是1,所以肯定滿足x1≥0、x2≥1、x3≥2、x4≥3

所以c(15,3)=15*14*13/(3*2*1)=455

4樓:誰知我心

複製之前的「最佳答案」,並做以更正!!

當x1=2,x2=0,x3=-5,x4=8時,

30-(x1+x2+x3+x4)=30-(2+0+(-5)+8)=25,

所以相當於把25個1分割成4部分,每部分至少有0個1。

分類討論:仍然是隔板法(也叫插空法)。25個1,中間共有24個空!

若4部分都至少有1,則為c(24,3)=2024;

若3部分都至少有1,剩餘1部分為0,則為c(4,3)×c(24,2)=1104;

若2部分都至少有1,剩餘2部分為0,則為c(4,2)×c(24,1)=144;

若1部分至少有1,剩3部分為0,則為c(4,1)×c(24,0)=4。

總計2024+1104+144+4=3276種整數解。

這種解法更直觀,更便於理解。書上的解法有點繞~

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