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拉普拉斯方程表示液麵曲率與液體壓力之間的關係的公式。一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直於表面的直線，再通過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相重合的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑r1。通過表面垂線並垂直於第一個平面再作第二個平面並與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑r2，用 r1與r2可表示出液體表面的彎曲情況。
若液麵是彎曲的，液體內部的壓力p1與液體外的壓力p2就會不同，在液麵兩邊就會產生壓力差△p= p1- p2，其數值與液麵曲率大小有關，可表示為：▽p=γ（1/r1+1/r2）式中γ是液體表面張力。該公式成為拉普拉斯方程。
在數理方程中
拉普拉斯方程為：▽u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中 ▽ 為拉普拉斯運算元，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函式φ ：
其中 ▽ 稱為拉普拉斯運算元. 拉普拉斯方程的解稱為調和函式。 如果等號右邊是一個給定的函式f(x, y, z)，即：
則該方程稱為泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。偏微分運算元或 ▽（可以在任意維空間中定義這樣的運算元）稱為拉普拉斯運算元，英文是 laplace operator 或簡稱作 laplacian。
狄利克雷問題
拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區域d內定義的函式φ，使得在d的邊界上等於某給定的函式。為方便敘述，以下采用拉普拉斯運算元應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹：固定區域邊界上的溫度（是邊界上各點位置座標的函式），直到區域內部熱傳導使溫度分佈達到穩定，這個溫度分佈場就是相應的狄利克雷問題的解。
諾伊曼邊界條件
拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區域d邊界處的溫度函式φ本身，而是φ沿d的邊界法向的導數。從物理的角度看，這種邊界條件給出的是向量場的勢分佈在區域邊界處的已知效果（對熱傳導問題而言，這種效果便是邊界熱流密度）。
拉普拉斯方程的解
稱為調和函式，此函式在方程成立的區域內是解析的。任意兩個函式，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函式之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。
可以根據該原理將複雜問題的已知簡單特解組合起來，構造適用面更廣的通解。
編輯本段二維拉普拉斯方程
兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式： 函式h (x,y) 為二元函式，h(x,y) 對x的二階偏導數 + h(x,y)對y的二階偏導數 = 0
解析函式
解析函式的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。換言之，若z = x + iy，並且 那麼f(z)是解析函式的充要條件是它滿足下列柯西-黎曼方程：f（z） = u(x,y) + iv(x ,y) u 對x的偏導數 = v 對y 的偏導數 ， u 對y 的偏導數 = - （v 對 x 的偏導數） 上述方程繼續 求導就得到 所以u 滿足拉普拉斯方程。
類似的計算可推得v 同樣滿足拉普拉斯方程。 反之，給定一個由解析函式（或至少在某點及其鄰域內解析的函式）f(z)的實部確定的調和函式，若寫成下列形式： 則等式 成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。
上述關係無法確定ψ，只能得到它的微增量表示式： φ滿足拉普拉斯方程意味著ψ滿足可積條件： 所以可以通過一個線積分來定義ψ。
可積條件和斯托克斯定理的滿足說明線積分的結果與積分經過的具體路徑無關，僅由起點和終點決定。於是，我們便通過複變函式方法得到了φ和ψ這一對拉普拉斯方程的解。這樣的解稱為一對共軛調和函式。
這種構造解的方法只在區域性（複變函式f(z)）的解析域內）有效，或者說，建構函式的積分路徑不能圍繞有f(z)的奇點。譬如，在極座標平面(r,θ)上定義函式 那麼相應的解析函式為 在這裡需要注意的是，極角θ 僅在不包含原點的區域內才是單值的。 拉普拉斯方程與解析函式之間的緊密聯絡說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導（這是解析函式的一個性質），因此可以成冪級數形式，至少在不包含奇點的圓域內是如此。
這與波動方程的解形成鮮明對照，後者包含任意函式，其中一些的可微分階數是很小的。 冪級數和傅立葉級數之間存在著密切的關係。如果我們將函式f 在複平面上以原點為中心，r 為半徑的圓域內成冪級數，即 將每一項係數適當地分離出實部和虛部 那麼 這便是f 的傅立葉級數。
三維情況下
拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函式φ ： 上面的方程常常簡寫作： 或 其中div表示向量場的散度（結果是一個標量場），grad表示標量場的梯度（結果是一個向量場），或者簡寫作：
其中δ稱為拉普拉斯運算元. 拉普拉斯方程的解稱為調和函式。 如果等號右邊是一個給定的函式f(x, y, z)，即：
則該方程稱為泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。偏微分運算元或δ（可以在任意維空間中定義這樣的運算元）稱為拉普拉斯運算元，英文是 laplace operator 或簡稱作 laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區域d內定義的函式φ，使得在d的邊界上等於某給定的函式。為方便敘述，以下采用拉普拉斯運算元應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹：固定區域邊界上的溫度（是邊界上各點位置座標的函式），直到區域內部熱傳導使溫度分佈達到穩定，這個溫度分佈場就是相應的狄利克雷問題的解。
拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區域d邊界處的溫度函式φ本身，而是φ沿d的邊界法向的導數。從物理的角度看，這種邊界條件給出的是向量場的勢分佈在區域邊界處的已知效果（對熱傳導問題而言，這種效果便是邊界熱流密度）。 拉普拉斯方程的解稱為調和函式，此函式在方程成立的區域內是解析的。
任意兩個函式，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函式之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。可以根據該原理將複雜問題的已知簡單特解組合起來，構造適用面更廣的通解。
編輯本段二維拉普拉斯方程
兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式：
解析函式
解析函式的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。換言之，若z = x + iy，並且 那麼f(z)是解析函式的充要條件是它滿足下列柯西-黎曼方程： 上述方程繼續求導就得到 所以u 滿足拉普拉斯方程。
類似的計算可推得v 同樣滿足拉普拉斯方程。 反之，給定一個由解析函式（或至少在某點及其鄰域內解析的函式）f(z)的實部確定的調和函式，若寫成下列形式： 則等式 成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。
上述關係無法確定ψ，只能得到它的微增量表示式： φ滿足拉普拉斯方程意味著ψ滿足可積條件： 所以可以通過一個線積分來定義ψ。
可積條件和斯托克斯定理的滿足說明線積分的結果與積分經過的具體路徑無關，僅由起點和終點決定。於是，我們便通過複變函式方法得到了φ和ψ這一對拉普拉斯方程的解。這樣的解稱為一對共軛調和函式。
這種構造解的方法只在區域性（複變函式f(z)）的解析域內）有效，或者說，建構函式的積分路徑不能圍繞有f(z)的奇點。譬如，在極座標平面(r,θ)上定義函式 那麼相應的解析函式為 在這裡需要注意的是，極角θ 僅在不包含原點的區域內才是單值的。 拉普拉斯方程與解析函式之間的緊密聯絡說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導（這是解析函式的一個性質），因此可以成冪級數形式，至少在不包含奇點的圓域內是如此。
這與波動方程的解形成鮮明對照，後者包含任意函式，其中一些的可微分階數是很小的。 冪級數和傅立葉級數之間存在著密切的關係。如果我們將函式f 在複平面上以原點為中心，r 為半徑的圓域內成冪級數，即 將每一項係數適當地分離出實部和虛部 那麼 這便是f 的傅立葉級數。
在流場中的應用
設u、v 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的x 和y 方向分量（這裡僅考慮二維流場），那麼不可壓縮條件為： 無旋條件為： 若定義一個標量函式ψ，使其微分滿足：
那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。積分的結果函式ψ稱為流函式，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。ψ的一階偏導為：
無旋條件即令 ψ 滿足拉普拉斯方程。ψ的共軛調和函式稱為速度勢。 柯西-黎曼方程要求 所以每一個解析函式都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。
解析函式的實部為速度勢函式，虛部為流函式。
在電磁學中的應用
根據麥克斯韋方程組，二維空間中不隨時間變化的電場(u,v)滿足： 和 其中ρ為電荷密度。第一個麥克斯韋方程便是下列微分式的可積條件：
所以可以構造電勢函式φ使其滿足 第二個麥克斯韋方程即： 這是一個泊松方程。
編輯本段三維拉普拉斯方程
基本解拉普拉斯方程的基本解滿足 其中的三維δ函式代表位於的一個點源。 由基本解的定義，若對u 作用拉普拉斯運算元，再把結果在包含點源的任意體積內積分，那麼 由於座標軸旋轉不改變拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些僅與到點源距離r 相關的解中。如果我們選取包含點源、半徑為a 的球形域作為積分域，那麼根據高斯散度定理 求得在以點源為中心，半徑為r 的球面上有 所以 經過類似的推導同樣可求得二維形式的解
格林函式
格林函式是一種不但滿足前述基本解的定義，而且在體積域v 的邊界s 上還滿足一定的邊界條件的基本解。譬如，可以滿足 現設u 為在v 內滿足泊松方程的任意解: 且u 在邊界s 上取值為g，那麼我們可以應用格林公式（是高斯散度定理的一個推論），得到 un 和gn 分別代表兩個函式在邊界s 上的法嚮導數。
考慮到u 和g 滿足的條件，可將上式化簡為 所以格林函式描述了量f 和g 對(x',y',z')點函式值的影響。格林函式在半徑為a 的球面內的點上得值可以通過映象法求得（sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源點p 的通過球面的「反射映象」p' 距球心 需要注意的是，如果p 在球內，那麼p' 將在球外。
於是可得格林函式為 式中r 表示距源點p 的距離，r' 表示距映象點p' 的距離。從格林函式上面的表示式可以推出泊松積分公式。設ρ、θ和φ為源點p 的三個球座標分量。
此處θ按照物理學界的通用標準定義為座標矢徑與豎直軸（z 軸）的夾角（與歐洲習慣相同，與美國習慣不同）。於是球面內拉普拉斯方程的解為： 式中 這個公式的一個顯見的結論是：
若u 是調和函式，那麼u 在球心處的取值為其在球面上取值的平均。於是我們可以立即得出以下結論：任意一個調和函式（只要不是常函式）的最大值必然不會在其定義域的內部點取得。
在流場中的應用
設u、v 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的x 和y 方向分量（這裡僅考慮二維流場），那麼不可壓縮條件為： 無旋條件為： 若定義一個標量函式ψ，使其微分滿足：
那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。積分的結果函式ψ稱為流函式，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。ψ的一階偏導為：
無旋條件即令 ψ 滿足拉普拉斯方程。ψ的共軛調和函式稱為速度勢。 柯西-黎曼方程要求 所以每一個解析函式都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。
解析函式的實部為速度勢函式，虛部為流函式。
怎麼進行拉普拉斯變換，怎麼進行拉普拉斯變換
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複變函式與積分變換,拉普拉斯變換,求微分方程的解
線性通解y ce t e 2t對應特解y e 2t,t對應特解y t 1又y 0 0 故y e 2t t 1 複變函式與積分變換 f t sin3 t 1 sin t 2 的laplace變換怎麼求?直接求積分 下面利用積化和差公式對兩個正弦的乘積進行化簡。根據得到 因此下面只要求專 接下來可以通過...