1樓：匿名使用者
有理數可以寫成兩個互質整數的比值(即最簡分數)
設√10=p/q,p,q互質
有10=p²/q²,p²=10q²
∵10是偶數,一個數乘以偶數還是偶數,∴p²是偶數,即p是偶數
設p=2k,k是正整數,那麼有10q²=(2k)²=4k²
5q²=2k²,∵2k²是偶數,∴5q²是偶數,即q是偶數
那麼pq都是偶數,有公因數2,這和pq互質相矛盾
因此√10不能寫成兩個互質整數的比值,即√10是無理數.
還有一種證法,這種證法對於證明一個非完全平方數的平方根為無理數是幾乎通用的
如果√10是有理數,那麼取最小的一個正整數m,使得m√10是一個整數
因為兩個整數差仍是整數,設n=m√10-3m=m(√10-3),n是整數
而3<√10<4,所以n 而n√10=√10*m(√10-3)=m(10-3√10)=10m-3m√10 10m是整數,3m√10是整數,所以n√10也是整數 但我們已經取了最小的正整數m使得m√10為整數了,n√10是整數的話,說明m 這與上面證明的n 所以,√10不是有理數. 要點是找出√a在哪兩個相鄰正整數k,k+1之間,假設m√a為整數之後,用m√a-km就可以得到n 2樓：苦也不太差°國 證明：假設 x =√ 6 +√10 是有理數, 則 √10 =x -√6, 所以 10 =x^2 -2√6 x +6. 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x). 又因為 x 是有理數, 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理數. 與 √6 是無理數 矛盾. 所以 假設不成立, 即 √6 +√10 是無理數. = = = = = = = = = 以上用到一個結論： 若 n是正整數，且不是完全平方數，則 √n 是無理數。 這道題可推廣為： 若 a,b 是正有理數，且√a,√b是無理數，則√a +√b 是無理數. 但是，無理數 +無理數 不一定是 無理數。 如：√2 +(2-√2) =2, π +(3-π) =3. ... ... 是否可以解決您的問題？ 如何用算術基本定理證明根號10是無理數 3樓：匿名使用者 設√10為有理數，不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2 可見n^2是10的倍 數按原理n是10的倍數 設n=10k 代入得m^2=10k^2 可見m^2是10的倍數 按原理m是10的倍數 但這與m,n互質矛盾 所以√10不是有理數 4樓：匿名使用者 先 設 根號10=p/q, p ,q互 為 質數 ，然 後 用 反 證 法 ， 具 體 參 見 下 面 這 個 鏈 接 裡 的 反 證 法 ： 5樓：匿名使用者 我同意這種證明方法： 設√10為有理數，不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2可見n^2是10的倍數按原理n是10的倍數 設n=10k 代入得m^2=10k^2 可見m^2是10的倍數 按原理m是10的倍數 但這與m,n互質矛盾 所以√10不是有理數 如何證明π是無理數？ 6樓：demon陌 把tan(m/n)寫成一個繁分 數的形式，如果m/n是有理數，這個繁分數的項數就是無窮的，但是根據繁分數的性質，項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數。 由於這個命題是真(繁分數的性質)，這句話的逆反命題，也就是對於項數有限的繁分數，m/n是無理數也是真。tan(pi/4)=1，1是有限項的繁分數，所以pi/4是無理數。 把圓周率的數值算得這麼精確，實際意義並不大。如果以39位精度的圓周率值，來計算可觀測宇宙的大小，誤差還不到一個原子的體積。 7樓：萊特資訊科技**** 這個問題最早是由德國數學家lambert在17世紀證明出來的.他的證明是把tan(m/n)寫成一個繁分數的形式,如果m/n是有理數,這個繁分數的項數就是無窮的,但是根據繁分數的性質,項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數.由於這個命題是真(繁分數的性質),這句話的逆反命題,也就是對於項數有限的繁分數,m/n是無理數也是真. tan(pi/4)=1,1是有限項的繁分數,所以pi/4是無理數. 現在還有好多別的證明方法.比方說可以用證明自然對數底e是無理數的反正法來證.大體來說就是建立一個大於0的數的數列,然後如果假設pi是有理數,這個數列會同時是一個大於0(不是大於等於),並且向0無限接近的數列,然後得出pi只能是無理數 假設pi a b，我們定義 對某個n f x x n a bx n n f x f x 1 j f 2j x 1 n f 2n x 這裡f 2j 是f的2j次導數.於是f和f有如下性質 都很容易驗證 1 f x 是一個整係數多項式除以n 2 f x f pi x 3 f在 0,pi 區間上嚴格遞增，... 證明 假設 3 2是一個有理數p,那麼 3 2 p.兩邊平方得到 5 2 6 p 2.即 6 p 2 5 2 由於p是有理數,所以 6是有理數.但這是不可能的,再次使用反證法,假設 6是有理數p q,其中p,q互質且p,q都是正整數 那麼 p q 6.平方得到 p 2 6q 2.由於6是2的倍數,所... 假設2的立方根為有理數，那麼這個有理數可以寫成a b,a,b為整數,且無公約數 a b 3 2 a 3 2b 3 若a為奇數,則a 3為奇數，而2b 3必定為偶數，不可能相等，所以a為偶數，而b就只能為奇數 令a 2k 得 2k 3 2b 3 整理得4k 3 b 3 所以b 3是偶數，即b是偶數 與...證明是無理數，如何證明 是無理數？
證明3 2是無理數，證明 3 2 是一個無理數
如何證明3次根號2是無理數如何證明三次根號2根號3是無理數