1樓：匿名使用者
這個題目有意思.
解: 因為α1，α2線性無關，α3=3α1+α2，α4=α1-2α2
所以 r(a)=r(α1,α2,α3,α4)=2.
所以 ax = 0 的基礎解系含 4-2=2 個向量.
由b=α1-α2+α3-α4 知 (1,-1,1,-1)'是ax=b的解.
而 α1-α2+α3-α4
= α1-α2+(3α1+α2)-α4
= 4α1-α4
所以 (4,0,0,-1)' 是ax=b的解
又 α1-α2+α3-α4
= α1-α2+α3-(α1-2α2)
= α2+α3
所以 (0,1,1,0)' 也是ax=b的解
所以 b1=(1,-1,1,-1)'-(4,0,0,-1)'=(-3,-1,1,0)'
b2=(1,-1,1,-1)'-(0,1,1,0)' =(1,-2,0,-1)'
是 ax=b 的基礎解系.
所以方程組的通解為:
(1,-1,1,-1)'+c1(-3,-1,1,0)'+c2(1,-2,0,-1)', c1,c2為任意常數.
滿意請採納^_^
2樓：糰子大家庭
a=(α1,α2,3α1+α2,α1-2α2)=(α1,α2)a'，b=α1-α2+α3-α4=α1-α2+(3α1+α2)-(α1-2α2)=3α1+2α2=(α1,α2)b'
其中a'為2*4階矩陣，其第一行為1 0 3 1，第二行為0 1 1 -2
b'為2階列向量[3,2]
由於α1，α2線性無關，即矩陣(α1,α2)可逆，從而方程ax=b的解即為a'x=b'的解。
注意到a'的秩為2，所以解空間是2維的，需要求1特解，及a'x=0的兩個線性無關的解。
1特解很容易猜出為[3,2,0,0]，a'x=0的兩個線性無關的解為[7,0,-2,-1]和[0,7,-1,3]，所以方程的通解為[7a+3,7b+2,-2a-b,-a+3b]，a,b為任意實數。
設a=（α1，α2，α3，α4）為4階方陣，其中α1，α2，α3，α4是4維列向量，且α2，α3，α4線性無關，
3樓：td哥哥
由α4=α1+α2+α3知a列向量組線性相關，從而r（a）＜4，
因α2，α3，α4線性無關，
則r（a）≥3，故r（a）=3，
由β=α1+α2+α3+α4知，η＝11
11為ax=β一個特解，
由α4=α1+α2+α3，得ξ＝11
1?1為ax=0一個解，
由r（a）=3知ax=0的基礎解系中有4-3=1個向量，從而ξ就構成ax=0的基礎解系，
由線性方程組解的結構知ax=β的通解為x＝k111?1+1
111．
a是四階矩陣，設a=（α1，α2，α3，α4），其中向量組α2，α3，α4線性無關，且α1=3α2-2α3，則齊次
4樓：潯子鬃司
由於α1=3α2-2α3，說明α1，α2，α3，α4是線性相關的，而向量組α2，α3，α4線性無關
因而r（a）=1，故ax=0的基礎解系只有一個非零解再由α1=3α2-2α3，得（α1，α2，α3，α4）1?320
＝0即（1，-3，2，0）t為ax=0的解∴ax=0的通解為x=k（1，-3，2，0）t（k為任意實數）故選：a．
設矩陣a=(α1,α2,α3,α4,),其中α2,α3,α4線性無關,α1=2α2-α3,向量b=α1+α2+α3+α4，
5樓：匿名使用者
那麼顯然那α2,α3,α4線性無關，故ax=0的解空間維數為n-r(a)=4-3=1.(n是a的列數）
α1=2α2-α3，所以(1,-2,1,0)^t是ax=0的一個非零解，考慮解空間維數為一。所以(1,-2,1,0)就是解空間的基，也就是這一個解就是ax=0的基礎解系。
b=α1+α2+α3+α4，所以(1,1,1,1)^t是ax=b的一個特解。
故ax=b的通解為(1,1,1,1)^t+k(1,-2,1,0)^t,k屬於r
已知四階矩陣a=（α1 α2 α3 α4），且他們均為四維列向量，其中α2 α3 α4 線性無關，α1=2α2-α3 如b
6樓：幻想的花馥馥
我不知道你研幾了，多思考哦。線性方程組不好表示，你就將就著看吧：）解：
由 α2，α3，α4 線性無關和 α1 = 2α2 - α3 + 0α4 ，故a的秩序為 3，因此 ax=0 的基礎解系中只包含一個向量.
由 α1 - 2α2 + α3 + 0α4 = 0 ，可知為齊次線性方程組 ax=0 的一個解，所以其他通解為x=kk為任意常數.
再由β=α1+α2+α3+α4=
(α1,α2,α3,α4)
=a可知
為非齊次線性方程組ax=β的一個特解，於是ax=β的通解為x=+k,其中k為任意常數。
另一種解法是：
令x=再由ax=β和α1=2α2-α3 得(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-x1)α4=0
再由α2，α3，α4線性無關可得方程組
2x1+x2-3=0
-x1+x3=0
x4-1=0
解得此方程組即可
7樓：匿名使用者
解 由α2 α3 α4 線性無關，α1=2α2-α3可知a的秩為3，故ax=0僅有一個無關解，再由α1=2α2-α3，則
α1-2α2+α3+0α4=0
即x=[1,-2,1,0]^t是齊次方程ax=0的解，通解為kx, k是任意數，
由b=α1+α2+α3+α4
則ax1=b,x1=[1,1,1,1]^t是ax=b的特解，故ax=b的全部解為
kx+x1=k[1,-2,1,0]^t+[1,1,1,1]^t,其中k是任意數.
8樓：匿名使用者
令x=再由ax=β和α1=2α2-α3 得(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-x1)α4=0
再由α2，α3，α4線性無關可得方程組
2x1+x2-3=0
-x1+x3=0
x4-1=0
解得此方程組即可
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