1樓：陳
個人覺得這個確實不算暴力。不過後面的配方其實可以免掉。
原式等於於證明：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca運用柯西：（a^2+b^2+c^2）（b^2+c^2+a^2）>=(ab+bc+ca）^2兩邊開方就可得到。
運用排序顯然是成立的，只要設a>=b>=c就可以知道了均值不等式：a^2+b^2>=2ab
a^2+ c ^2≥2ac
b ^2+ c ^2≥2bc
然後三式子相加就可以得到要證的。
2樓：**官
a²+b²+c²-ac-ab-bc=（a﹣b）²/2+（a-c)²/2+(b-c)²/2≥0
所以 (a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≥ac+ab+bc+2ab+2ac+2bc=3(ab+bc+ca)
(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+2（a²+b²+c²）=3（a²+b²+c²）
3樓：匿名使用者
由於（a -b）^2≥0 得到a^2+ b^2≥2a b 兩邊同同時加上4 a b
（a –c）^2≥0得到a^2+ c ^2≥2a c 兩邊同同時加上4 a c
（b- c）^2≥0得到b ^2+ c ^2≥2b c 兩邊同同時加上4 b c
可以得到
a^2+ b^2+4 a b≥6a b①
a^2+ c ^2+4 a c≥6a c②
b ^2+ c ^2+4 b c≥6b c ③
① ② ③同時相加得到
2（a^2+ b^2+ c ^2+2a b+2a c+2b c）≥6（a b+ a c+ b c）
（a^2+ b^2+ c ^2）^2≥3（a b+ a c+ b c）
4樓：匿名使用者
（a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=[(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca)]/2
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2≥0所以：(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca)
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