1樓:匿名使用者
這個題要分段討論吧,a>b和a 2樓:看到你就喜歡 硬要這種方法就這樣不過還是建議令t=b/a做只要求一次導也簡單 基本不等式是怎麼證明的? 3樓:匿名使用者 設x、y為任意實數,則 (x-y)的平方大於等於0,即 x的平方-2xy+y的平方大於等於0,於是得 x的平方+y的平方大於等於2xy;設a等於x的平方、b等於y的平方,則 2xy等於2根號(ab),所以得到 a+b大於等於2根號(ab),其中a、b為正實數.本來a、b等於0時,不等式也是成立的,但考慮實用性,故只取正數. 4樓:匿名使用者 不等式的證明 1.比較法 作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小 作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0. 作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1 例1 求證:x2+3>3x 證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3 =+≥>0 ∴ x2+3>3x 例2 已知a,b r+,並且a≠b,求證 a5+b5>a3b2+a2b3 證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵ a,b r+ ∴ a+b>0, a2+ab+b2>0 又因為a≠b,所以(a-b)2>0 ∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0 ∴ a5+b5>a3b2+a2b3 例3 已知a,b r+,求證:aabb≥abba 證明: = ∵a,b r+,當a>b時,>1,a-b>0,>1; 當a≤b時,≤1,a-b≤0, ≥1. ∴ ≥1, 即aabb≥abba 綜合法瞭解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式 定理1 如果a,b r,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號) 證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 當且僅當a=b時取等號.所以 a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號). 定理2 如果a,b,c r+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號) 證明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc, 很明顯,當且僅當a=b=c時取等號. 例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. 放縮法這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性— a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了. 例,證明當k是大於1的整數時,, 我們可以用放縮法的一支——"逐步放**",證明如下: 分析法從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立. 分析法的證明過程表現為一連串的"要證......,只要證......",最後推至已知條件或真命題 例 求證: 證明:構造圖形證明不等式 例:已知a,b,c都是正數,求證: +>分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2ab cosc,為了得到a2+b2+ab的形式,只要c=120°, 這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊 可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊 可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊 構造圖形如下, ab=, bc=, ac=顯然ab+bc>ac,故原不等式成立. 數形結合法 數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關係如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關係直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,通過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性. 通過數形結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化. 例.證明,當x>5時,≤x-2 解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍.在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象. 設它們交點的橫座標是x0, 則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立. 反證法先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立. 窮舉法對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況). 注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可通過運用多種方法來提高自己的思維能力. 不等式證明都有哪幾種方法 5樓:琳述 比較法比較法是證明不等式的最基本方法,具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式(或分式)時,常用作差比較,當求證的不等式兩端是乘積形式(或冪指數式時常用作商比較) 例1已知a+b≥0,求證:a3+b3≥a2b+ab2 分析:由題目觀察知用"作差"比較,然後提取公因式,結合a+b≥0來說明作差後的正或負,從而達到證明不等式的目的,步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。 ∵(a3+b3)(a2b+ab2) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) 證明: =(a-b)2(a+b) 又∵(a-b)2≥0a+b≥0 ∴(a-b)2(a+b)≥0 即a3+b3≥a2b+ab2 例2 設a、b∈r+,且a≠b,求證:aabb>abba 分析:由求證的不等式可知,a、b具有輪換對稱性,因此可在設a>b>0的前提下用作商比較法,作商後同"1"比較大小,從而達到證明目的,步驟是:10作商20商形整理30判斷為與1的大小 證明:由a、b的對稱性,不妨解a>b>0則 aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b ∵ab0,∴ab1,a-b0 ∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba>1,又abba>0∴aabb>abba 練習1 已知a、b∈r+,n∈n,求證(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1) 基本不等式法 利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 變形有: (1)若a、b∈r,則a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,取等號) (2)若a、b∈r+,則a+b≥ 2ab (當且僅當a=b時,取等號) (3)若a、b同號,則 ba+ab≥2(當且僅當a=b時,取等號) 例3 若a、b∈r, |a|≤1,|b|≤1則a1-b2+b1-a2≤1 分析:通過觀察可直接套用: xy≤x2+y22 證明: ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1 ∴b1-a2+a1-b2≤1,當且僅當a1+b2=1時,等號成立 練習2:若 ab0,證明a+1(a-b)b≥3 綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發,根據不等式性質推算出要證明不等式。 例4,設 a0,b0,a+b=1,證明:(a+1a)2+(b+1b)2≥252 證明:∵ a0,b0,a+b=1 ∴ab≤14或1ab≥4 左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2 =4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252 練習3:已知a、b、c為正數,n是正整數,且f (n)=1gan+bn+**3 求證:2f(n)≤f(2n) 分析法從理論入手,尋找命題成立的充分條件,一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時,便可推出原不等式成立,這種方法稱為分析法。 例5:已知a0,b0,2ca+b,求證:c-c2-ab 分析:觀察求證式為一個連鎖不等式,不易用比較法,又據觀察求證式等價於 |a-c| 要證c-c2-ab 只需證-c2-ab 證明: 即證 |a-c| 即證 (a-c)2 即證 a2-2ac<-ab ∵a>0,∴即要證 a-2c<-b 即需證2+b<2c,即為已知 ∴ 不等式成立 練習4:已知a∈r且a≠1,求證:3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2 放縮法放縮法是在證明不等式時,把不等式的一邊適當放大或縮小,利用不等式的傳遞性來證明不等式,是證明不等式的重要方法,技巧性較強常用技巧有:(1)捨去一些正項(或負項),(2)在和或積中換大(或換小)某些項,(3)擴大(或縮小)分式的分子(或分母)等。 例6:已知a、b、c、d都是正數 求證: 1 分析:觀察式子特點,若將4個分式商為同分母,問題可解決,要商同分母除通分外,還可用放縮法,但通分太麻煩,故用放編法。 證明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1 又由ab ∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b 綜上知:1 練習5:已知:a<2,求證:loga(a+1)<1 6換元法 換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易,化繁為簡的作用,有些問題直接證明較為困難,若通過換元的思想與方法去解就很方便,常用於條件不等式的證明,常見的是三角換元。 (1)三角換元: 是一種常用的換元方法,在解代數問題時,使用適當的三角函式進行換元,把代數問題轉化成三角問題,充分利用三角函式的性質去解決問題。 例7、若x、y∈r+,且 x-y=1 a=(x-1y)(y+1y)。1x,求證0 證明: ∵x,y∈r+, 且x-y=1,x=secθ , y=tanθ ,(0<θ ∴ a=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ =1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ =sinθ ∵0<θ 複習6:已知1≤x2+y2≤2,求證:12 ≤x2-xy+y2≤3 (2)比值換元: 對於在已知條件中含有若干個等比式的問題,往往可先設一個輔助未知數表示這個比值,然後代入求證式,即可。 例8:已知 x-1=y+12=z-23,求證:x2+y2+z2≥4314 證明:設x-1=y+12=z-23=k 於是x=k+1,y=zk-1,z=3k+2 把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2 =14(k+514)2+4314≥4314 反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚,可以考慮反證法,即先否定結論不成立,然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理,逐步推匯出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論,從而肯定原有結論是正確的,凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題,適宜用反證法。 例9:已知p3+q3=2,求證:p+q≤2 分析:本題已知為p、q的三次 ,而結論中只有一次 ,應考慮到用術立方根,同時用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。 證明:解設p+q>2,那麼p>2-q ∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3 將p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+6<0 即6(q-1)2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2 練習7:已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0. 求證:a>0,b>0,c>0 數學歸納法 與自然數n有關的不等式,通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。 例10:設n∈n,且n>1,求證: (1+13)(1+15)...(1+12n-1)>2n+12 分析:觀察求證式與n有關,可採用數學歸納法 證明:(1)當n=2時,左= 43,右=52 ∵43>52∴不等式成立 (2)假設n=k(k≥2,k∈n)時不等式成立,即(1+13)(1+15)...(1+12k-1)>2k+12 那麼當n=k+1時,(1+13)(1+15)...(1+12k-1)(1+12k+1)>2k+12·(1+12k+1)1 要證1式左邊> 2k+32,只要證2k+12· 2k+22k+1>2k+322 對於2〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3 〈二〉(2k+2)2> (2k+1)(2k+3) 〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3 〈二〉4>3 3 ∵3成立 ∴2成立,即當n=k+1時,原不等式成立 由(1)(2)證明可知,對一切n≥2(n∈n),原不等式成立 練習8:已知n∈n,且n>1,求證: 1n+1+1n+2+...+12n> 1324 構造法根據求證不等式的具體結構所證,通過建構函式、數列、合數和圖形等,達到證明的目的,這種方法則叫構造法。 1建構函式法 例11:證明不等式:x1-2x 證明:設f(x)= x1-2x- x2 (x≠0) ∵f (-x) =-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2 =x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2 =f(x) ∴f(x)的影象表示y軸對稱 ∵當x>0時,1-2x<0 ,故f(x)<0 ∴當x<0時,據影象的對稱性知f(x)<0 ∴當x≠0時,恆有f(x)<0 即x1-2x 練習9:已知a>b,2b>a+c,求證:b- b2-ab 2構造圖形法 例12:若f(x)=1+x2 ,a≠b,則|f(x)-f(b)|< |a-b| 分析:由1+x2 的結構可知這是直角座標平面上兩點a(1,x),0(0,0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2 於設a(1,a),b(1,b)則0a= 1+a2 即 ab a b 2 a 0,b 0 變形 ab a b 2 2 a 2 b 2 2ab 當且僅當a b時，等號成立 基本不等式中常用公式 40 1 a b 2 a b 2 ab 2 1 a 1 b 當且僅當a b時，等號成立 2 ab a b 2。當且僅當a b時，等號成立 3 a b 2ab。當... 若是a 2 b 2 2ab，則a，b是一切實數。若是a b 2根號ab，則a,b是正實數 一個指某個值，一個指這個值的對應最大或最小範圍數 基本不等式中常用公式 40 1 a b 2 a b 2 ab 2 1 a 1 b 當且僅當a b時，等號成立 2 ab a b 2。當且僅當a b時，等號成立 ... 先對xe x 求導 1 x e x 在0 高等數學,不等式證明題。證 兩邊同時取對數得 xln2 2lnx,然後設fx,求導判斷x大於4時導數大於0且fx也大於0就ok啦 望採納 記 f x 2 x x 2,f 4 0f x 2 x ln2 2x,f x 2 x ln2 2 2,當 x 4 時,f ...基本不等式的概念，基本不等式中常用公式
基本不等式中的a,b指的是，基本不等式中常用公式
高等數學不等式證明題,證明不等式高數題目