1樓：匿名使用者
你這個題，我做了3遍了。是求任意點的n階導數還是原點的n階導數。
如果包括後者，肯定有原點處y=0，否則n階導數不存在。
（首先，恆有(x→0)lim e^(-1/x^2)/x^k=0
證明：k≤0時，顯然成立
k>0時，(x→0)lim e^(-1/x^2)/x^k=(t→∞)lim t^k/e^(t^2)=0，連續用洛必達法則可得結果）
n階導數用y(n)表示
x=0處的導數
y(1)=lim [e^(-1/x^2)-0]/(x-0)=0
y(2)=lim 2/x^3*e^(-1/x^2)/x=0
不管求多少階導，n階導數，當x≠0時的表示式中，總含有e^(-1/x^2)，故
y(n)=0
然後一般情況
e^（-1/x^2)=y
-1/x^=lny
求導2/x^3=y'/y
2y=x^3y'
萊布尼茨公式求n階導
2y(n)=y(n+1)x^3+3nx^2y(n)+3n(n-1)xy(n-1)+n(n-1)(n-2)y(n-2)
所以得到
y(n+1)x^3+y(n)(3nx^2-2)+3n(n-1)xy(n-1)+n(n-1)(n-2)y(n-2)=0
最後根據遞推來求任意點n階導數值。
求原點的n階導數比較簡單，都是0
但是求一般點的n階導數只能遞推，由於對於關於n的遞推公式而言，儘管是線性的且是齊次的，但由於是四階，目前線性的只研究出一階的一般解法，這個解法和線性微分方程是非常相似的。所以只能遞推。
要求一般的的n階導數的函式，那就難得不得了了，解那個4階微分方程，基本上都是沒有解析解的。
對，那兒錯了，謝謝你的指正。
2樓：毳伊
x^3(0)應該是學x^3，所以第一項裡少了個x^3
關於n階導數問題，關於n階導數的問題 求高手指點
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