1樓:**ilevivi貝兒
數列歷年都是高考必考內容,難度也是有所提高的。數列題一定呀要有歸納,這方面掌握不了還是補習一下吧,可以諮詢一下睿凡
最近學校教等比數列和等差數列,好難啊!!!
2樓:匿名使用者
1、熟記等差和等比數列的定義、通項公式和求和公式
2、解題時注意判斷數列每一項之間的關係是等差還是等比。
3、數列的實質是特殊函式,等差數列實質是一次函式,等比數列實質是指數函式,所以可以把項數n看成是x,an看成是y,這樣通項公式實質就是函式y=f(x)的表示式。
3樓:認真小阿迪
我剛上初一 我們老師也給我留的是關於等比數列的問題 公式是
等比數列求和公式
和=首項*(1-公比^項數)/(1-公比) 這是高手們幫我做的 他們覺得很難做 我們初一就要做這種題 唉~~~!·、|、
4樓:立波蒙
遞推公式、通項公式、求和公式
觀察法、累加(乘)法、錯位相消法
這些掌握就差不多了
5樓:花花草樹木
等差很簡單,就是每個相連的數字之間的差是一樣的,代公式就ok,我記得應該是a1=x 公差是d有n個數,an=a1+(n-1)*d 你理解公式就行!!等比我差不多忘了...
高中數學的等差數列和等比數列,哪個相對要難一點?為什麼?
6樓:殘酷ing_月光
等差數列問題解決時一般多加減法,等比數列一般解決方法多為乘除法。要說難度還是兩種數列綜合在一起時求和或者求不等式的題較難
7樓:樂觀的拽少年
相對而言,應該等比數列更難一點,因為是冪指數的變化
8樓:文藝豔嬌
當等差和等比一起出現在題目裡最難!
等差數列和等比數列真的好難?
9樓:匿名使用者
【例3】設是正陣列成的數列,其前n項的和為s ,並且對於所有的自然數n,a 與2的等差中項等於s 與2的等比中項。 1 寫出數列的前3項; 2 求數列的通項公式(寫出推證過程); 3 令b = ( + ) (n∈n),求 (b +b +...+b -n)。(94年全國高考題)【分析】由題意容易得到 = ,由此而求得a 、a 、a ,通過觀察猜想a ,再用數學歸納法證明。
求出a 後,代入不難求出b ,再按照要求求極限。【解】1 ∵ = = ∴ a =2∵ = = = ∴ a =6∵ = = = ∴a =10所以數列的前3項依次為2、6、10。2 由數列的前3項依次為2、6、10猜想a =4n-2,下面用數學歸納法證明a =4n-2:
當n=1時,通項公式是成立的;假設當n=k時結論成立,即有a =4k-2,由題意有 = ,將a =4k-2代入得到:s =2k ;當n=k+1時,由題意有 = = ∴ ( ) =2(a +2k ) 即a -4a +4-16k =0由a >0,解得a =2+4k=4(k+1)-2,所以n=k+1時,結論也成立。綜上所述,上述結論對所有的自然數n都成立。
3 設c =b -1= ( + )-1= ( + -2)= [( -1)+( -1)]= - b +b +...+b -n=c +c +...+c =(1- )+( - )+...+( - )=1- ∴ (b +b +...+b -n)= (1- )=1【注】本題求數列的通項公式,屬於猜想歸納型問題,其一般思路是:從最簡單、最特殊的情況出發,推測出結論,再進行嚴格證明。第3問對極限的求解,使用了「裂項相消法」,設立新的數列c 具有一定的技巧性。
此外,本題第2問數列通項公式的求解,屬於給出數列中s 與a 的函式關係式求a ,對此類問題我們還可以直接求解,解答思路是由a =s -s 的關係轉化為數列通項之間的遞推關係,再發現數列的特徵或者通過構造新的數列求解。具體的解答過程是:由題意有 = ,整理得到s = (a +2) ,所以s = (a +2) ,∴ a =s -s = [(a +2) -(a +2) ]整理得到(a +a )( a -a -4)=0由題意a >0可以得到:
a -a -4=0,即a -a =4∴數列為等差數列,其中a =2,公差d=4,即通項公式為a =4n-2。【例4】已知x >0,x ≠1,且x = (n∈n),比較x 與x 的大小。(86年全國理)【分析】比較x 與x 的大小,採用「作差法」,判別差式的符號式,分情況討論。
【解】x -x = -x = 由x >0及數列的定義可知,x >0,所以x -x 與1-x 的符號相同。假定x <1,當n=1時,1-x >0;假設n=k時1-x >0,那麼當n=k+1時,1-x =1-[ ] = >0,因此對一切自然數n都有1-x >0,即x 1,當n=1時,1-x <0;假設n=k時1-x <0,那麼當n=k+1時,1-x =1-[ ] = <0,因此對一切自然數n都有1-x <0,即x 0,使得 0),a = (n≥2,n∈n)。1 用a表示 2 猜想a 的表示式,並證明你的結論。
10樓:匿名使用者
湯,,我的好o(∩_∩)o 例1.等差數列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求s13解:由求和公式知問題轉化為求a7由條件得:
a7=12例2.已知數列滿足(1)計算:a2,a3,a4 (2)求數列的通項公式解:
(1)由可計算出a2= -1,a3=,a4= -1有兩種解法,一由a2,a3,a4的值猜想通項公式然後用數學歸納法證明二是由已知得:(*) 兩式相減得:(an-1-1)(an-an-2)=0顯然不存在an-1-1=0的情況,否則代入(*)有an=an+1即0=1矛盾,故只有an=an-2這樣可得 或例3.
已知數列的各項均為正數,且前n項之和sn滿足6sn=an2+3an+2.若a2,a4,a9成等比數列,求數列的通項公式。 解:
當n=1時,由題意有6a1=a12+3a+2於是 a1=1 或 a1=2當n32時,有6sn=an2+3an+2,6sn-1=an-12+3an-1+2兩式相減得:(an+an-1) (an-an-1-3)=0由題意知各項為正,所以an-an-1=3當a1=1時,an=1+3(n-1)=3n-2此時a42=a2a9成立當a1=2時,an=2+3(n-1)=3n-1此時a42=a2a9不成立,故a1=2捨去所以an=3n-2例4.各項為實數的等差數列的公差為4,其首項的平方與其餘各項之和不超過100,這樣的數列至多有多少項?
解 設a1,a2...,an是公差為4的等差數列,則 a12+a2+a3+...+an£100, 即 a12+(n-1)a1+(2n2-2n-100)£0 (1)因此,當且僅當d=(n-1)2-4(2n2-2n-100)30時,至少存在一個實數a1滿足(1)式。因為d30,所以7n2-6n-401£0,解得 n1£n£n2 (2)其中,所以滿足(2)的自然數n的最大值為8。故這樣的數列至多有8項。
例5.各項均為實數的等比數列的前n項之和為sn,若s10=10,s30=70,求s40。解 記b1=s10,b2=s20-s10,b3=s30-s20,b4=s40-s30.
設q是的公比,則b1,b2,b3,b4構成以r=q10為公比的等比數列。於是70=s30=b1+b2+b3=b1(1+r+r2)=10(1+r+r2)即r2+r-6=0. 解得r=2 或 r=-3由於r=q10>0 , 所以r=2故 s40=10(1+2+22+23例6.
給定正整數n和正數m,對於滿足條件a12+an+12£m的所有等差數列a1,a2,a3...試求s=an+1+an+2+...+a2n+1的最大值。解 設公差為d,an+1=a. 則s=an+1+an+2+...+a2n+1=(n+1)a+故又 m3a12+an+12=(a-nd)2+a2=所以 |s|且當 時,s===由於此時4a=3nd,所以所以s的最大值為。
例7.設等差數列的首項及公差均為非負整數,項數不少於3,且各項之和為972,這樣的數列共有多少個?解 設等差數列首項為a,公差為d,依題意有即 [2a+(n-1)d]n=2′972, (3)因為n為不小於3的自然數,97為素數,故n的值只可能為97,2′97,972,2′972四者之一。
若 d>0,則由(3)知2′9723n(n-1)d3n(n-1).故只可能有n=97.於是(3)化為 a+48d=97.
此時可得n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1.若d=0時,則由(3)得na=972,此時n=97,a=97 或 n=972,a=1。故符合條件的數列共有4個。
例8.設是由正陣列成的等比數列,sn是前n項之和(1)證明(2)是否存在常數c>0,使得成立,並證明你的結論證明:(1)設的公比為q,由已知得:
a1>0,q>0i)當q=1時,sn=na1,從而,sn×sn+2-sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12= -a12<0ii)當q11時,∴由i)、ii)均有sn×sn+2n+12,兩邊同時取對數即得證(2)要使成立,則有分兩種情況討論i)當q=1時(sn-c)×(sn+2-c)-(sn+1-c)2=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2= -a12<0即不存在常數c>0使結論成立ii)當q11時,若條件(sn-c)×(sn+2-c)=(sn+1-c)2成立,則(sn-c)×(sn+2-c)-(sn+1-c)2= = -a1qn[a1-c(1-q)]而a1qn10,故只能是a1-c(1-q)=0即,此時,由於c>0,a1>0,必須00,即不存在常數c>0滿足條件綜合i)、ii)可得,不存在常數c>0,滿足題意例9.設任意實數x,y滿足|x|<1,|y|<1,求證: (第19屆莫斯科數學競賽試題)證明:
∵|x|<1,|y|<1,∴x2<1,y2<1,故=(1+x2+ x4+ x6+...)+(1+ y2+ y4+ y6+...)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+... ≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+...=例10.設x,y,z為非負實數,且x+y+z=1,求證:0£xy+yz+zx-2xyz£證明:
由對稱性,不妨設x3y3z ∵x+y+z=2×∴x+y,, z成等差數列,故可設x+y=+d,z=-d由x+y32z,得,則xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1-2z)=30當且僅當x=1,y=z=0時取等號又£=當且僅當x=y=z=時取等號故0£xy+yz+zx-2xyz£例11.解方程組解:由(1)得 解得即xy=15=,則x,,y成等比數列,於是可設x=q,y= 代入(2)整理得:
15q4-34q2+15=0解得:故經檢驗都是原方程組的解例12.解方程:
解:顯然成等差數列,故可設 (1)2-(2)2得-2(3x+2)= -2(3x+2)d 解得d=1或當d=1時,代入(1)解得是增根,捨去∵符合題意,∴是原方程的根例13.等差數列中,,試求(l-m)ab+(m-n)bc+(n-l)ca的值解:
在直角座標系中,對於任意n?n,點(n,an)共線,所以有,點共線,於是,由,化簡得:,所以=所以所求的值為0例14.
從n個數1,a, a2,..., an (a>2)中拿走若干個數,然後將剩下的數任意分成兩個部分,證明:這兩部分之和不可能相等證明:當a>2時,,上式對任意k?
n成立,不妨設剩下的數中最大的數am (m31)在第一部分中,則第一部分各數之和3am>1+a+...+am-13第二部分之和
等差數列和等比數列的性質等差數列與等比數列的性質有哪些？
等差數列的性質 1 在有限等差數列中，與首末兩項等距離的兩項的和都等於首末兩項的和 2 各項同加一數所得數列仍是等差數列，並且公差不變 3 各項同乘以一不為零的數k,所得的數列仍是等差數列，並且公差是原公差的k倍 4 幾個等差數列，它們各對應項的和組成的數列仍是等差數列，公差等於各個公差的和 5 a...
求等差數列等比數列公式性質,等差數列及等比數列的性質,及他們求和公式的性質
等差抄 a n a 1 n 1 d 注意 n是正整數前n項和公式 s n n a 1 n n 1 d 2或s n n a 1 a n 2 等比 通項公式變形為an a1 q q n n n 求和公式 sn na1 q 1 sn a1 1 q n 1 q a1 a1q n 1 q a1 an q 1 ...
等差與等比的區別等差數列和等比數列有什麼區別？
1 性質 等差數列 是從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列，常用a p表示。等比數列 是從第二項起，每一項與它的前一項的比值等於同一個常數的一種數列，常用g p表示。2 計算公式 等差數列 如果一個等差數列的首項為a1，公差為d，那麼該等差數列第n項的表示式為 an a1 d ...