在解微分方程中,有這樣的式子 x y2 2yyx 0能否把它看做一元二次方程來解?y是其一階導數

2021-03-22 01:03:46 字數 4960 閱讀 7906

1樓:

可以的。解出

來y'=f(x, y), 只是帶上了根式,仍需用別的方法才能解出最終的解。

這題可用代換法:

令y=xu,則y'=u+xu',代入原方程得:

(u+xu')^2-2u(u+xu')-1=0即-u^2+x^2u'^2-1=0

u'^2/(u^2+1)=1/x^2

du/√(u^2+1)=±dx/x

再令u=tanv, du=sec^2v dv0.5dsinv*[1/(1+sinv)+1/(1-sinv)]=±dx/x

積分:ln(1+sinv)/(1-sinv)=±2lnx+c1(√(1+u^2)+u)/(√1+u^2)-u)=cx^(±2)即:(√(x^2+y^2)+xy)/(√(x^2+y^2/x^2)-xy)=cx*x^(±2)

2樓:匿名使用者

沒問題,可以用這種方法先求y',然後再解出y

3樓:匿名使用者

不能啊,再說也有兩個未知數

求助一道二次常微分方程的題,x(y')^2-2yy'+4x=0 10

4樓:小羅

^類似於其次方程的解法,令 y = t * x,dy = t dx + x dt => y ' = dy / dx = t + x * dt / dx.

x(y ')^2 - 2yy' + 4x = 0 => (y ')^2 - 2y/x * y' + 4 = 0 => (y ')^2 - 2t * y' + 4 = 0 將 y ' 代入得到:

(t + x * dt/dx)^2 - 2t * (t + x * dt/dx) + 4 = 0 化簡得到 =>

x * dt/dx = ± √(t^2 - 4) 這是一個分離變數的微分方程 =>

1 / √(t^2 - 4) dt = ± 1 / x dx 兩邊同時積分 =>

ln( t + √(t^2 - 4) ) = ± ln x + c1 =>

t + √(t^2 - 4) = c * x 或者 c / x 將 t = y / x 代入即可得到方程的解:

y + √(y^2 - 4x^2) = c * x 或者 c.

5樓:匿名使用者

兩邊除以x,再令u=y/x;進行化簡udu/根號(u^2-4)=dx/x;再兩邊積分,左邊湊微分

微分方程x(y")^2+2yy+x=0的階數是?

6樓:尹六六老師

階數是1,

理由:微分方程的階數的概念是,

微分方程中出現的未知函式的導數的最高階導數的階數。

本題中,最高階導數等於一階導數,

所以,微分方程的階數為1

7樓:

二階微分方程。

因為最高為y".

8樓:匿名使用者

一階微分方程。

因為:方程中出現的未知函式的導數只有一階y'

微分方程x(y『)^2-2yy』=0的階數為什麼不是2啊???

9樓:匿名使用者

微分方程的階數是指方程中微分形式的最高階數,和代數式的階數屬於兩個不同的定義。所謂微分形式的階,是指導數的形式是幾次導數。你所列的方程,y為x的因變數,y的最高導數形式是一次(一階導數(也叫做導數))即y對x一階求導。

儘管這個導數是平方形式,但是還只是一階。如果方程含有y對x的二階導數,即y'',即y對x的導數再求導數,那才是二階微分方程。

10樓:匿名使用者

微分方程x(y『)^2-2yy』=0的階數為什麼不是2啊???

該微分方程未知函式y的導數的最高的階數為:一階 :y';微分方程的階數指的是:

未知函式導數的階數,而不是導函式多少次方的次數。其中(y')^2中的2次方,表示該微分方程是非線性的微分方程,它不是微分方程的階數。

求微分方程yy''-(y')^2=0的通解

11樓:匿名使用者

^微分方程yy''-(y')^2=0的通解解:令y'=p,then  y''=p(dp/dy)so. yp(dp/dy)-p^2=0

so. dp/p=dy/y(if p isn't 0)so . y'=c1y

so .ln y=c1x+ln c2

so .y=c2e^(c1x)

if .p=0,then y=c

12樓:匿名使用者

解 令u=y' 即u=dy/dx (這個如果不知道,說明你微分還不會)

y"=du/dx=u×du/dy(這一步很關鍵,這個不會後面就別看了)

原式改寫為 y×u'=u²接著用到可分離變數方法(這個不會說明你常微分方程沒學好)

y×u×du/dy=u²

(1/u)du=(1/y)dy

因為∫(1/x)dx=ln|x|+c(c為任意常數,這一步要求你知道這個柿子,要是不會說明你不定積分沒學好)

兩側同時積分得ln|u|+c1=ln|y| +c2

常數c1,c2合併,左右兩側對數號合併

則 ln|u/y|=c

那麼 |u/y|=e^c(e的c次方)

u/y=±e^c (發現右邊這柿子是一個非0常數)不妨設它為c,由於y=0是該微分方程的一個特解(這個不知道說明你常微分方程沒學好),那麼u=0是允許的,那麼c=0也是可以的,所以c代表包括0的任意常數

那麼 u=cy

而u=y'=dy/dx

則dy/dx=cy

(1/y)dy=cdx

由於∫(1/y)dy=ln|y|+c1 ∫cdx=cx+c2(c1,c2屬於r)

兩側同時積分 並且把常數c1c2合併,記為c1

所以 ln|y|=cx+c1

y=±e^(cx+c1)

因為±e^(cx+c1)=±e^c1×e^cx

又±e^c1可以記為常數c1(c1可以為0)所以還可以化簡

y=c1e^cx

參***一般寫的是

y=e(c1x+c2)

兩者之間等價

同學祝你成功,加油!

大一高數求微分方程通解,yy''-(y')^2+y'=0

13樓:

^令p=y'

則y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy代入原方程:ypdp/dy-p^2+p=0得:p=0或ydp/dy-p+1=0

p=0得:dy/dx=0, 即:y=c

ydp/dy-p+1=0, 得:dp/(p-1)=dy/y, 得:ln(p-1)=lny+c1, 得:p-1=cy

得:dy/dx=cy+1,

得:dy/(cy+1)=cx,

得:ln(cy+1)=cx^2/2+c2

cy+1=e^(cx^2/2+c2)

y=[e^(cx^2/2+c2)-1]/c

14樓:匿名使用者

|yy''-(y')²+y'=0

設p=y'=dy/dx

則y''=dp/dx=(dp/dy)×(dy/dx)=pdp/dy代入原方程得到 ypdp/dy-p²+p=0提取公因子p得 p(ydp/dy-p+1)=0從而得到p=0或者ydp/dy-p+1=0當p=0時,dy/dx=0,解之得 y=c當ydp/dy-p+1=0時, ydp/dy=p-1dp/(p-1)=dy/y

ln|p-1|=ln|y|+c'

ln[(p-1)/y]=c'

(p-1)/y=c1

y'-1=c1y

dy/dx=c1y+1

解之得 ln|c1y+1|=x+c2

c1y+1=e^(x+c2)

所以原方程的通解為y=[e^(x+c2)-1]/c1特解為y=c

解微分方程 y*y''-(y')^2-y^2*y'=0

15樓:匿名使用者

^|yy''-y'^2=y^2y'

(yy''-y'^2)/y^2=y'

(y'/y)'=y'

兩邊積分:y'/y=y+c1

dy/dx=y^2+c1y

dy/[y(y+c1)]=dx

兩邊積分,

左邊=1/c1∫(1/y-1/(y+c1))dy=1/c1ln|y/(y+c1)|+c2

右邊=x+c2

所以1/c1ln|y/(y+c1)|=x+c2ln|y/(y+c1)|=c1x+c2

y/(y+c1)=c2e^(c1x)

y=c1c2e^(c1x)/(1-c2e^(c1x))

微分方程2yy"=(y')^2+y^2在y(0)=1,y'(0)=-1的特解

16樓:匿名使用者

|令p=y'

則y"=pdp/dy

代入方程

:pdp/dy+2/(1-y)*p^2=0dp/p=2dy/(y-1)

積分:ln|p|=2ln|y-1|+c

得:p=c1(y-1)^2

dy/(y-1)^2=c1dx

積分;-1/(y-1)=c1x+c2

故y=1-1/(c1x+c2)

請教,如何求微分方程(√1-x^2)y`=√1-y^2和x*dy/dx-yiny=0的通解?

17樓:匿名使用者

^(√1-x^2)y'=√1-y^2

dy/√1-y^2=dx/√1-x^2

積分得通解:

arcsiny=arcsinx+c或 y=sin(arcsinx+c)

x*dy/dx-yiny=0

dy/[yiny]=dx/x

積分得通解:

lnlny=lnx+lnc

lny=cx

y=e^(cx)

這樣的積分方程和微分方程怎麼解,解微分方程和求不定積分的區別?

mv 0 v0 ks 0 l mv0 kl 解微分方程和求不定積分的區別?求不定積分只是個方法 解微分方程你要用不定積分 就比如你解方程你要用加法 那你說解方程和加法的區別是什麼呢?微分方程的通解怎麼求?已知微分方程的通解怎麼求這個微分方程 答 求導!如 1。x 2 xy y 2 c等式兩邊對x求導...

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