1樓:匿名使用者
換元思想
數形結合思想
分離分子 簡化分母
2樓:匿名使用者
1、數形結合2、分類討論3、函式與方程思想4、轉化與化歸思想
高中數學的四大思想是什麼?請給高考例題
3樓:匿名使用者
數形結合
思想數形結合思想在高考中佔有非常重要的地位,其「數」與「形」結合,相互滲透,把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結合,使代數問題、幾何問題相互轉化,使抽象思維和形象思維有機結合. 應用數形結合思想,就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯絡,既分析其代數意義又揭示其幾何意義,將數量關係和空間形式巧妙結合,來尋找解題思路,使問題得到解決. 運用這一數學思想,要熟練掌握一 些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特徵.
應用數形結合的思想,應注意以下數與形的轉化:(1)集合的運算及韋恩圖;(2)函式及其圖象;(3)數 列通項及求和公式的函式特徵及函式圖象;(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線.
以形助數常用的有:藉助數軸;藉助函式圖象;藉助單位圓;藉助數式的結構特徵;藉助於解析幾何方法.
以數助形常用的有:藉助於幾何軌跡所遵循的數量關係;藉助於運算結果與幾何定理的結合.
分類討論思想
分類討論思想就是根據所研究物件的性質差異,分各種不同的情況予以分析解決. 分類討論題覆蓋知識點較多,利於考查學生的知識面、分類思想和技巧;同時方式多樣,具有較高的邏輯性及很強的綜合性,樹立分類討論思想,應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到「確定物件的全體,明確分類的標準,分層別類不重複、不遺漏的分析討論」.
常見的分類情形有:按數分類;按字母的取值範圍分類;按事件的可能情況分類;按圖形的位置特徵分類
等. 分類討論思想方法可以滲透到高中數學的各個章節,它依據一定的標準,對問題分類、求解,要特別注意 分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.
函式與方程思想
函式與方程思想是最重要的一種數學思想,高考中所佔比重較大,綜合知識多、題型多、應 用技巧多. 函式思想簡單,即將所研究的問題藉助建立函式關係式亦或構造中間函式,結合初等函式的圖象與性質,加以分析、轉化、解決有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論引數的取值範圍等問題;方程思想即將問題中的數量關係運用數學語言轉化為方程模型加以解決.
運用函式與方程的思想時,要注意函式,方程與不等式之間的相互聯絡和轉化,應做到:
(1)深刻理解函式 f(x)的性質(單調性、奇偶性、週期性、最值和圖象變換),熟練掌握基本初等函式的性質,這是應用函式思想解題的基礎.
(2)密切注意三個「二次」的相關問題,三個「二次」即一元二次函式、一元二次方程、一元二次不等 式是中學數學的重要內容,具有豐富的內涵和密切的聯絡. 掌握二次函式基本性質,二次方程實根分佈條件,二次不等式的轉化策略.
轉化與化歸思想
化歸與轉化的思想,就是在研究和解決數學問題時採用某種方式,藉助某種函式性質、圖象、公式或已知條件將,問題通過變換加以轉化,進而達到解決問題的思想. 轉化是將數學命題由一種形式向另一種形式的變換過程,化歸是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題. 轉 化與化歸思想是中學數學最基本的思想方法,堪稱數學思想的精髓,它滲透到了數學教學內容的各個領域和解 題過程的各個環節中.
轉化有等價轉化與不等價轉化. 等價轉化後的新問題與原問題實質是一樣的. 不等價轉 化則部分地改變了原物件的實質,需對所得結論進行必要的修正.
數學基本思想方法有哪些
4樓:匿名使用者
1、數形結合:是數學中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀,形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言,是對數形結合的作用進行了高度的概括。
2、轉化思想:在整個初中數學中,轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決,如化繁為簡、化難為易,化未知為已知,化高次為低次等,它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。
3、分類思想:有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類,三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關係、直線與圓的位置關係,圓與圓的位置關係等都是通過分類討論的。
4、整體思想
從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特徵,善於用「整合」的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的的、有意識的整體處理。
5、類比思想
把兩個(或兩類)不同的數學物件進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
5樓:何秋光學前數學
1.數形結合思想
說得簡單點,就是根據數學題目所給的條件和結論之間的內在關係,即分析其代數的意義,又分析其幾何的意義,把題目所展示出的數量關係與圖形(畫圖)相結合起來,利用這樣的結合,找到解題的思路,使問題得到解決,在函式部分,數形結合思想的重要性不言而喻,有時候在解決一些函式最值問題時不確定,需要畫草圖進行分析等。
2.分類討論思想
在數學中,有時候根據題目所給出的條件,可能存在各種不同的情況,這時候就需要通過分類討論,將所有可能出現的情況整合在一起,得出最後的結果,這種分類思考的方法,是一種重要的數學思想方法,也是一種重要的解題策略。在高中導數部分,運用到分類討論思想的最多,其次還有關於三角形的分類、角的大小、運用正餘弦定理求線段長度等都可能出現。
3.換元法
在解決題目的過程過程中,將一個或者某個字母的式子看成一個整體,用一個新的字母來表示,達到簡化式子的目的。換元法可以把一個比較複雜的式子化簡,把問題歸結為比原來更基本的問題,達到化繁為簡、化難為易的效果。多在求函式的解析式、分解因式等知識點中運用。
4.配方法
將一個式子設法構成平方式,然後再進行所需要的轉化。當在求二次函式最值問題、解決實際問題最省錢、盈利最大化等問題時,經常要用到此方法。
5.待定係數法法
當我們所研究的數學式子具有某種特定形式時,要確定它,只要求出式子中待定的字母的值就可以了,為此,需要把已知的條件代入到這個待定的式子中,往往會得到含待定字母的方程或者方程組,然後解這個方程或者方程組就可以使問題得到解決。
6樓:佛手
高中數學基本數學思想
1.轉化與化歸思想:
是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識範圍內可解問題的一種重要的基本數學思想.這種化歸應是等價轉化,即要求轉化過程中的前因後果應是充分必要的,這樣才能保證轉化後所得結果仍為原題的結果. 高中數學中新知識的學習過程,就是一個在已有知識和新概念的基礎上進行化歸的過程.
因此,化歸思想在數學中無處不在. 化歸思想在解題教學中的的運用可概括為:化未知為已知,化難為易,化繁為簡.
從而達到知識遷移使問題獲得解決.但若化歸不當也可能使問題的解決陷入困境. 例證
2.邏輯劃分思想(即分類與整合思想):
是當數學物件的本質屬性在區域性上有不同點而又不便化歸為單一本質屬性的問題解決時,而根據其不同點選擇適當的劃分標準分類求解,並綜合得出答案的一種基本數學思想.但要注意按劃分標準所分各類間應滿足互相排斥,不重複,不遺漏,最簡潔的要求. 在解題教學中常用的劃分標準有:
按定義劃分;按公式或定理的適用範圍劃分;按運演算法則的適用條件範圍劃分;按函式性質劃分;按圖形的位置和形狀的變化劃分;按結論可能出現的不同情況劃分等.需說明的是: 有些問題既可用分類思想求解又可運用化歸思想或數形結合思想等將其轉化到一個新的知識環境中去考慮,而避免分類求解.
運用分類思想的關鍵是尋找引起分類的原因和找準劃分標準. 例證
3. 函式與方程思想(即聯絡思想或運動變化的思想):
就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數量關係,抽象其數量特徵,建立函式關係式,利用函式或方程有關知識解決問題的一種重要的基本數學思想.
4. 數形結合思想:
將數學問題中抽象的數量關係表現為一定的幾何圖形的性質(或位置關係);或者把幾何圖形的性質(或位置關係)抽象為適當的數量關係,使抽象思維與形象思維結合起來,實現抽象的數量關係與直觀的具體形象的聯絡和轉化,從而使隱蔽的條件明朗化,是化難為易,探索解題思維途徑的重要的基本數學思想.
5. 整體思想:
處理數學問題的著眼點或在整體或在區域性.它是從整體角度出發,分析條件與目標之間的結構關係,對應關係,相互聯絡及變化規律,從而找出最優解題途徑的重要的數學思想.它是控制論,資訊理論,系統論中「整體—部分—整體」原則在數學中的體現.
在解題中,為了便於掌握和運用整體思想,可將這一思想概括為:記住已知(用過哪些條件?還有哪些條件未用上?
如何創造機會把未用上的條件用上?),想著目標(向著目標步步推理,必要時可利用圖形標示出已知和求證);看聯絡,抓變化,或化歸;或數形轉換,尋求解答.一般來說,整體範圍看得越大,解法可能越好.
在整體思想指導下,解題技巧只需記住已知,想著目標, 步步正確推理就夠了.
中學數學中還有一些數學思想,如:
集合的思想;
補集思想;
歸納與遞推思想;
對稱思想;
逆反思想;
類比思想;
參變數思想
有限與無限的思想;
特殊與一般的思想.
它們大多是本文所述基本數學思想在一定知識環境中的具體體現.所以在中學數學中,只要掌握數學基礎知識,把握代數,三角,立體幾何,解析幾何的每部分的知識點及聯絡,掌握幾個常用的基本數學思想和將它們統一起來的整體思想,就定能找到解題途徑.提高數學解題能力.
數學解題中轉化與化歸思想的應用
數學活動的實質就是思維的轉化過程,在解題中,要不斷改變解題方向,從不同角度,不同的側面去**問題的解法,尋求最佳方法,在轉化過程中,應遵循三個原則:1、熟悉化原則,即將陌生的問題轉化為熟悉的問題;2、簡單化原則,即將複雜問題轉化為簡單問題;3、直觀化原則,即將抽象總是具體化.
策略一:正向向逆向轉化
一個命題的題設和結論是因果關係的辨證統一,解題時,如果從下面入手思維受阻,不妨從它的正面出發,逆向思維,往往會另有捷徑.
例1 :四面體的頂點和各稜中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不共面的取法共有__________種.
a、150 b、147 c、144 d、141
分析:本題正面入手,情況複雜,若從反面去考慮,先求四點共面的取法總數再用補集思想,就簡單多了.
10個點中任取4個點取法有 種,其中面abc內的6個點中任取4點都共面有 種,同理其餘3個面內也有 種,又,每條稜與相對稜中點共面也有6種,各稜中點4點共面的有3種, 不共面取法有 種,應選(d).
策略二:區域性向整體的轉化
從區域性入手,按部就班地分析問題,是常用思維方法,但對較複雜的數學問題卻需要從總體上去把握事物,不糾纏細節,從系統中去分析問題,不單打獨鬥.
例2:一個四面體所有稜長都是 ,四個頂點在同一球面上,則此球表面積為( )
a、 b、 c、 d、
分析:若利用正四面體外接球的性質,構造直角三角形去求解,過程冗長,容易出錯,但把正四面體補形成正方體,那麼正四面體,正方體的中心與其外接球的球心共一點,因為正四面體稜長為 ,所以正方體稜長為1,從而外接球半徑為 ,應選(a).
策略三:未知向已知轉化
又稱類比轉化,它是一種培養知識遷移能力的重要學習方法,解題中,若能抓住題目中已知關鍵資訊,鎖定相似性,巧妙進行類比轉換,答案就會應運而生.
例3:在等差數列 中,若 ,則有等式
( 成立,類比上述性質,在等比數列 中, ,則有等式_________成立.
分析:等差數列 中, ,必有 ,
,故有 類比等比數列 ,因為
,故 成立.
邏輯劃分思想
例題1、已知集合 a= ,b= ,若b a,求實數 a 取值的集合.
解 a= : 分兩種情況討論
(1)b=¢,此時a=0;
(2)b為一元集合,b= ,此時又分兩種情況討論 :
(i) b=,則 =-1,a=-1
(ii)b=,則 =1, a=1.(二級分類)
綜合上述 所求集合為 .
例題2、設函式f(x)=ax -2x+2,對於滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求實數a的取值範圍.
例題3、已知 ,試比較 的大小.
【分析】
於是可以知道解本題必須分類討論,其劃分點為 .
小結:分類討論的一般步驟:
(1)明確討論物件及物件的範圍p.(即對哪一個引數進行討論);
(2)確定分類標準,將p進行合理分類,標準統
一、不重不漏,不越級討論.;
(3)逐類討論,獲取階段性結果.(化整為零,各個擊破);
(4)歸納小結,綜合得出結論.(主元求並,副元分類作答).
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