1樓:7zone射手
(1)起源(bai定義)不
同:導數du起源是函式值隨自變數增量zhi的變dao化率,即△y/△x的極版限.微分起源於微量分析,如△權y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和,其線性主部稱微分.
當△x很小時,△y的數值大小主要由微分a△x決定,而o(△x)對其大小的影響是很小的.
(2)幾何意義不同:導數的值是該點處切線的斜率,微分的值是沿切線方向上縱座標的增量,而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量.可參考任何一本教材的圖形理解.
(3)聯絡:導數是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,這裡公式本身也體現了它們的區別.
(4)關係:對一元函式而言,可導必可微,可微必可導.
導數和微分的區別?
2樓:月下者
導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。
導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標變化率和橫座標變化率的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得δx以後,縱座標取得的增量。
擴充套件資料
微分在數學中的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
微積分的基本概念之一。
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。
如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:o讀作奧密克戎,希臘字母)那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。
函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。
參考資料
3樓:匿名使用者
導數和微分的區別一個是比值、一個是增量。
1、導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。
2、微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。
擴充套件資料:
微分應用:
1、我們知道,曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直,微分可以求出切線的斜率,自然也可以求出法線的斜率。
2、假設函式y=f(x)的圖象為曲線,且曲線上有一點(x1,y1),那麼根據切線斜率的求法,就可以得出該點切線的斜率m:m=dy/dx在(x1,y1)的值,所以該切線的方程式為:y-y1=m(x-x1)。
由於法線與切線互相垂直,法線的斜率為-1/m且它的方程式為:y-y1=(-1/m)(x-x1)
3、增函式與減函式
微分是一個鑑別函式(在指定定義域內)為增函式或減函式的有效方法。
鑑別方法:dy/dx與0進行比較,dy/dx大於0時,說明dx增加為正值時,dy增加為正值,所以函式為增函式;dy/dx小於0時,說明dx增加為正值時,dy增加為負值,所以函式為減函式。
4、變化的速率
微分在日常生活中的應用,就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。
在t=3時,我們想知道此時水加入的速率,於是我們算出dv/dt=2/(t+1)^2,代入t=3後得出dv/dt=1/8。
所以我們可以得出在加水開始3秒時,水箱裡的水的體積以每秒1/8升的速率增加。
4樓:demon陌
1 對於函式f(x),求導f'(x)=df(x)/dx,微分就是df(x),微分和導數的關係為df(x)=f'(x)dx
2 求導又名微商,計算公式:dy/dx,而微分就是dy,所以進行微分運算就是讓你進行求導運算然後在結果後面加上一個無窮小量dx而已。當然這僅限於一元微積分,多元微積分另當別論。
5樓:陳新霽粘錦
樓上的,問題是導數和微分的區別,你怎麼說到微分和積分的區別了。
對於一元函式y=f(x)而言,導數和微分沒什麼差別。導數的幾何意義是曲線y=f(x)的瞬時變化率,即切線斜率。微分是指函式因變數的增量和自變數增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x),這裡可以把自變數x看成是關於自身的函式y=x,那麼△x=△y,所以微分另一種說法叫微商,dy/dx是兩個變數的比值。
一般來說,dy/dx=y'。
對於多元函式,如二元函式z=f(x,y)而言,導數變成了關於某個變數的偏導數。此時,微分符號dz/dx是個整體,不能拆開理解。而且,有個重要區別,可導不一定可微。
即可導是可微的必要非充分條件。但是,有定理,若偏導數連續則函式可微。具體看全微分與偏導數有關章節。
theend。
6樓:西域牛仔王
自變數 x 的差分是 δx,函式 y 的差分是 δy,
δx=x2-x1,δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)。
當 δx 足夠小時(趨於 0),δy 的值近似等於 f '(x)*δx ,
就把這個定義成 y 的微分,記作 dy ,因此 dy = f '(x)*δx ≈ δy ,
由於對函式 y=x 來說,dy=dx=δx,所以上式就是 dy = f '(x)*dx 。
可以看出,f '(x) = dy/dx ,也就是說,導數其實就是微商。
以前學導數時,只是把 dy/dx 看作是導數的符號,而現在是一種運算了。
7樓:有嗨咩
對一個函式積分和對它微分,這兩個運算互為逆運算。
求原函式的過程是不定積分運算版;求導的過程權是微分運算。
一個函式的微分與它的導數也略有區別,微分是函式的線性增量(變化),而導數是函式的變化率(也就是函式值變化/自變數變化)。
8樓:匿名使用者
其實從幾何幾何意義上來理解就很簡單了,導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標變化率和橫座標變化率的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得δx以後,縱座標取得的增量。
9樓:呵呵
導數描繪的是將來的
變換率 在 微分可以理解為將來增量的主體 這句話的前提足回夠細分的情況下(或者答
說 微分是導數的實現) 並且要進行說明的是導數和微分都是對函式的某一點進行討論 很多人認為是對函式的討論吧 著名的泰勒公式 就是通過 某一個點 和它的將來的變換率 變換率的變化率................ 從而推出整個函式面貌
所謂求導 就是通過損失一部分資訊的情況下 來獲得函式將來的的變換情況 這裡的一部分資訊 你可以理解為初始值 例如 f=x^2 求導 f`(x)=2x 2x進行積分得到的原函式 x^2+c 這裡的c就是損失的初始值 也就是f(0)
10樓:匿名使用者
更準來確的說應該是,
導數源是函式影象在某bai一點處的斜du
率,也就是縱坐zhi
標增量(δy)和橫坐dao標增量(δx)在δx-->0時的比值。
微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。
11樓:匿名使用者
導數--求函式在某一個點的切線斜率
微分--求函式在某一個點的增長率
12樓:匿名使用者
冰塊融化的快慢程度用到導數,冰塊某一時刻體積的縮小量用到微分,導數是變化率,微分是個數
13樓:煙怡書景福
在一元函式情形
二者是等價的,可導一定可以微分,且dy=f'(x)dx
但是在多元函式時,可微比可導要強,可導不一定可微
微分和導數是什麼關係?
14樓:匿名使用者
一元函式中可導與可微等價。導數是函式影象在某一點處的斜率,是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。
微分的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
微積分的基本概念之一。
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微分概念在整個微積分體系中佔有重要地位。理解微分概念是微積分教育的重要環節。在歷史上,微分的定義經歷了很長時間的發展。
牛頓、萊布尼茲是微積分的主要建立人,他們的微積分可以稱為第一代微積分,第一代微積分的方法是沒有問題的,而且獲得了巨大的成功,但是對微分的定義(即微分的本質到底是什麼)的說明不夠清楚。
以柯西、維爾斯特拉斯等為代表的數學家在極限理論的基礎上建立了微積分原理,可以稱之為第二代微積分,並構成當前教學中微積分教材的主要內容。
第二代微積分與第一代微積分在具體計算方法上基本相同,第二代微積分表面上解決了微分定義的說明,但是概念和推理繁瑣迂迴。
15樓:518姚峰峰
(1)起源(定義)不同:導數起源是函式值隨自變數增量的變化率,即△y/△x的極限.微分起源於微量分析,如△y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和,其線性主部稱微分.
當△x很小時,△y的數值大小主要由微分a△x決定,而o(△x)對其大小的影響是很小的.
(2)幾何意義不同:導數的值是該點處切線的斜率,微分的值是沿切線方向上縱座標的增量,而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量.可參考任何一本教材的圖形理解.
(3)聯絡:導數是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,這裡公式本身也體現了它們的區別.
(4)關係:對一元函式而言,可導必可微,可微必可導.
16樓:戲映煙元英
這兩者是不同的,粗略來看很多人會認為這兩者是一樣的,但是其數學含義是不同的,而且嚴格說兩者不是相等的關係。
從數學符號的意義上來說,dy與δy是不同的,dx與δx也是不同的。一般地,δ~代表做「差(分)」運算之後的結果,是一個具體精確的表達。而d~代表做「微分」運算後的結果,裡面包含有取某種極限之後的結果,是更抽象的表達。
差分僅僅是直觀的減法運算,而微分則包含有更為深刻的極限思想在裡面。甚至也可以把微分認為是差分的極限。
我們定義函式y=f(x)
δy=aδx+o(δx)來自於差分表示式:δy=y1-y0=f(x1)-f(x0),其中x1-x0=δx.
右邊f(x1)-f(x0)相當於做了一個一階(如果你學過taylor,可以聯絡起來考慮),得到線性部分aδx和殘差項o(δx),o(δx)指的是δx的高階無窮小:如果δx是一個具體的數,那麼o(δx)就是一個具體的數;如果δx趨向於零,那麼o(δx)比δx「更快地」趨向於零。a是一個與x0有關而與δx無關的量。
dy=f(x)dx就是把之前式子裡δx的高階無窮小o(δx)拿掉不考慮,但是這裡捨棄的o(δx)並不是等於零的,而且一個關於δx的函式,比如當取δx收斂到零的極限時就有limo(δx)=0。所以你可以把dy=f(x)dx看作是δy=aδx+o(δx)取某種極限後的結果。
形式上我們可以定義dy=f(x)dx為一個微分表示式,是一個相對抽象的結果。但其實質是由具體的差分形式δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)演化而來的。或者說dy是δy在某種極限意義下的近似。
這裡相等的只有一階係數a與導數f(x),注意把上面固定的x0看做x即可。
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這兩者是不同的，粗略來看很多人會認為這兩者是一樣的，但是其數學含義是不同的，而且嚴格說兩者不是相等的關係。從數學符號的意義上來說，dy與 y是不同的，dx與 x也是不同的。一般地，代表做 差 分 運算之後的結果，是一個具體精確的表達。而d 代表做 微分 運算後的結果，裡面包含有取某種極限之後的結果，...
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