1樓:中公教育
設抄m是n階方陣, e是單位
襲矩陣, 如果存在一個數λ使得 m-λe 是奇異矩陣(即不可逆矩陣, 亦即行列式為零), 那麼λ稱為m的特徵值。
特徵值的計算方法n階方陣a的特徵值λ就是使齊次線性方程組(a-λe)x=0有非零解的值λ,也就是滿足方程組|a-λe|=0的λ都是矩陣a的特徵值。
線性代數,求特徵值和特徵向量
2樓:dear豆小姐
||特徵值 λ = -2, 3, 3,特徵向量
: (1 0 -1)^t、(3 0 2)^t。
解:|λe-a| =
|λ-1 -1 -3|
| 0 λ-3 0|
|-2 -2 λ|
|λe-a| = (λ-3)*
|λ-1 -3|
|-2 λ|
|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特徵值 λ = -2, 3, 3
對於 λ = -2, λe-a =
[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]
行初等變換為
[ 1 1 1]
[ 0 1 0]
[ 0 2 0]
行初等變換為
[ 1 0 1]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (1 0 -1)^t。
對於重特徵值 λ = 3, λe-a =
[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]
行初等變換為
[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]
行初等變換為
[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (3 0 2)^t。
答:特徵值 λ = -2, 3, 3,特徵向量: (1 0 -1)^t、(3 0 2)^t。
擴充套件資料
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用
設 a 是n階方陣,如果存在數m和非零n維列向量 x,使得 ax=mx 成立,則稱 m 是a的一個特徵值(characteristic value)或本徵值(eigenvalue)。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於(對應於)特徵值m的特徵向量或本徵向量,簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一,它有著廣泛的應用。數學上,線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非簡併的向量,其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。
3樓:匿名使用者
|a-λ
e| =
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ
r1-r2
-1-λ 1+λ 0
2 1-λ 3
3 3 6-λ
c2+c1
-1-λ 0 0
2 3-λ 3
3 6 6-λ
= (-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]= (-1-λ)[λ^2-9λ]
= λ(9-λ)(1+λ)
所以a的特徵值為 0, 9, -1
ax = 0 的基礎解係為: a1 = (1,1,-1)'
所以,a的屬於特徵值0的全部特徵向量為: c1(1,1,-1)', c1為非零常數.
(a-9e)x = 0 的基礎解係為: a2 = (1,1,2)'
所以,a的屬於特徵值9的全部特徵向量為: c2(1,1,2)', c2為非零常數.
(a+e)x = 0 的基礎解係為: a3 = (1,-1,0)'
所以,a的屬於特徵值-1的全部特徵向量為: c3(1,-1,0)', c3為非零常數.
4樓:匿名使用者
你好,滿意請採納哦!
|a-λe|=
2-λ 3 2
1 8-λ 2
-2 -14 -3-λ
= -(λ-1)(λ-3)^2=0
解得特徵值為1,3,3
1對應的特徵向量:
(a-e)x=0
係數矩陣:
1 3 2
1 7 2
-2 -14 -4
初等行變換結果是:
1 0 2
0 1 0
0 0 0
所以特徵向量是[-2 0 1]^t
3對應的特徵向量:
(a-3e)x=0
係數矩陣:
-1 3 2
1 5 2
-2 -14 -6
初等行變換結果是:
1 1 0
0 2 1
0 0 0
所以特徵向量是[1 -1 2]^t
5樓:
一個基本結論:
矩陣所有特徵值的和為主對角線上元素的和。
所以,兩個特徵值之和為
1+3=4
6樓:匿名使用者
λ||λ|λe-a| =
|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ||λe-a| = (λ-3)*
|λ-1 -3|
|-2 λ|
|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特徵值 λ = -2, 3, 3
對於 λ = -2, λe-a =
[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]
行初等變換為
[ 1 1 1][ 0 1 0][ 0 2 0]行初等變換為
[ 1 0 1][ 0 1 0][ 0 0 0]得特徵向量 (1 0 -1)^t對於重特徵值 λ = 3, λe-a =
[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]
行初等變換為
[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]
行初等變換為
[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (3 0 2)^t.
7樓:豆賢靜
題目給的條件是a的秩為2,所以在特徵值為-2的時候,最多隻有兩個特徵向量。
8樓:小樂笑了
|λi-a| =
λ-1 -1 -3
0 λ-3 0
-2 -2 λ
= (λ-1)(λ-3)λ-2×3×(λ-3) = (λ-3)(λ+2)(λ-3) = 0
解得λ=-2,3(兩重)
9樓:匿名使用者
求 λ-2 2 0
2 λ-1 2
0 2 λ
行列式值為0的解。
得特徵值為 -2,1,4。
對λ^3-3λ^2-6λ+8進行因式分解。
一般求特徵值時的因式分解步驟都不難, 上式容易看出1是它的一個零點,提取出λ-1,得到
λ^3-3λ^2-6λ+8=(λ-1)(λ^2-2λ-8)
10樓:匿名使用者
一個線性方程組的基礎解系是這樣的一個解向量組:
11樓:徐臨祥
1.首先讓我們來了解一下特徵值和特徵向量的定義,如下:
2.特徵子空間基本定義,如下:
3.特徵多項式的定義,如下:
12樓:蒯懿靖迎夏
此題中,由於是實對稱矩陣,特徵向量互相垂直,所以η·η1=0,所以
x2+x3=0。在滿足該條件的基礎上任取互相垂直的向量選作η2、η3(只要滿足該條件,就屬於
λ=1對應特徵向量的解空間),即可。
對矩陣a,方程
ax=λx(x待求向量,λ待求標量),的解x稱為a的特徵向量,
λ為對應的特徵值,特徵值特徵向量問題是線性代數學習、研究的一個重要模組。
一般求解辦法:
第一步,求解方程:det(a-λe)=0
得特徵值
λ第二步,求解方程:(a-λe)x=0
得對應特徵向量
x特徵值特徵向量問題的應用比較廣泛:
線性代數領域——化簡矩陣(即矩陣對角化、二次型標準化等),計算矩陣級數
高等數學領域——解線性常係數微分方程組、判斷非線性微分方程組在奇點處的穩定性
物理——矩陣量子力學
......以上僅僅是筆者接觸到的一些應用。
13樓:洛德業劇溫
線性代數是數學的一個分支,它的研究物件是向量,向量空間(或稱線性空間),線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題;因而,線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中;通過解析幾何,線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型,使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
數學上,線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非退化的向量,其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
設a為n階矩陣,根據關係式ax=λx,可寫出(λe-a)x=0,繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0,可求出矩陣a有n個特徵值(包括重特徵值)。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式,求解方程(λie-a)x=0,所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。
線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量?
14樓:曾經的一隻豬
特徵值與特徵向量是線性代數的核心也是難點,在機器學習演算法中應用十分廣泛。要求線性代數中的特徵值和特徵向量,就要先弄清楚定義:
設 a 是 n 階矩陣,如果存在一個數 λ 及非零的 n 維列向量 α ,使得aα=λαaα=λα成立,則稱 λ 是矩陣 a 的一個特徵值,稱非零向量 α 是矩陣 a 屬於特徵值 λ 的一個特徵向量。
觀察這個定義可以發現,特徵值是一個數,特徵向量是一個列向量,一個矩陣乘以一個向量就等於一個數乘以一個向量。
線性代數特徵值問題，線性代數 求特徵值的問題
由左向右證明很顯然，一個線性無關組的任何子向量組都線性無關 從右向左 設x1,x2,xn是a的特徵向量，且屬於不同特徵值的向量組內部線性無關 假設這些向量線性相關，既存在不全為0的係數c1,c2,cn使得 c1x1 c2x2 cnxn 0 1 把c1,c2,cn中非0的係數相關的所有特徵值 s1,s...
線性代數特徵值和特徵向量線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量？
t為一個n維列向量乘一個n維行向量，得到一個n維方陣。這個方陣的每兩行肯定都是線性相關的，因為都是列向量中的一個元素，依次乘行向量中的元素，作為對應位置的值。或者可以算一下，如圖所示，得到的n維矩陣對應的行列式，每行提出對應的公因子，得到一個每行元素都相同的行列式，即秩為1.當然也可以這麼想，r a...
線性代數求特徵值與特徵向量，線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量？
1 0 1 0 1 0 0 0 0 非零行的首非零元所在列對應的未知量是約束變數,這裡即 x1,x2其餘變數為自由未知量,這裡是 x3 行簡化梯矩陣對應同解方程組 x1 x3 x2 0 令自由未知量x3 1所得的解就是基礎解系,即 1,0,1 事實上,當只有一個自由未知量時,可令它取任一個非零的數,...