1樓:匿名使用者
設ai是λbaii的特徵向量(
dui=1,2,...,m),且i不等於j時,λi不等於λzhij
設他們的一個dao線性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用a左乘得:
版 a(k1a1+k2a2+..._+kmam)權=0
因為aai=λiai,得:λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘a,多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11. ..1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 為方陣b
x=(k1a1,k2a2,...,kmam)
bx=0
|b|為範德蒙德行列式,顯然不為零,可逆
所以x=(k1a1,k2a2,...,kmam)= o
故kiai=0(i=1,2,..,m)
因為ai不等於0,故ki=0(i=1,2,..,m),故線性無關。
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
2樓:小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下:
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h,相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關,不妨設y=mx,因此,得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】,得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量,而h,k兩個特徵值不相同,即h-k不為0則m=0,則y=mx=0,這與特徵向量非零向量,矛盾!
因此假設不成立,從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為,某個特徵值的一個特徵向量的非零倍數,也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量,因為是倍數關係,因此是線性相關的。
又例如,如果一個特徵值,相應特徵方程解出來,基礎解系中有多個解向量,這些解向量是線性無關的,且都是此特徵值的特徵向量。
3樓:你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得:k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說:對於對稱矩陣,無論有沒有相同的特徵值,它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
4樓:2048人
1. 是
2. 可能會
如何證明一個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關,是不是很麻煩過程
5樓:天龍八部大結局
以兩個為例,顯然兩個向量線性相關意味著相差一個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
一個n階方陣的不同特徵值對應的特徵向量線性無關,錯的,如何證明?
6樓:曉曉休閒
在向量空間v的一組向量a:a1,a2,...am,如果存在不全為零的數 k1, k2, ···,km , 使
則稱向量組a是線性相關的,否則數 k1, k2, ···,km全為0時,稱它是線性無關。由此定義看出a:a1,a2,...
am是否線性相關,就看是否存在一組不全為零的數 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看
這個齊次線性方程組是否存在非零解,將其係數矩陣化為最簡形矩陣,即可求解。此外,當這個齊次線性方程組的係數矩陣是一個方陣時,這個係數矩陣存在行列式為0,即有非零解,從而a:a1,a2,...
am線性相關。
為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關?還有怎麼判斷一個n階矩陣有n個線性無關的特徵向量?
7樓:匿名使用者
特徵值a的幾何重數就是 n-r(a-ae)
也就是齊次線性方程組 (a-ae)x=0 的基礎解系所含向量的個數
幾何重數不超過代數重數
8樓:電燈劍客
對於不同特徵值對應的特徵向量的無關性,直接用線性無關的定義,藉助vandermonde行列式即可
至於幾何重數的具體資訊,從jordan標準型裡直接可以讀出來
請教如何理解不同特徵值對應的特徵向量線性無關????
9樓:匿名使用者
對應於不同特徵值的特徵向量之間是線性無關的。問:在對角化裡的p不是線性無關的嗎?
答:是的,n階矩陣a能對角化的充要條件就是a有n個線性無關的特徵向量,p就是這些特徵向量構成的可逆矩陣。問:
而特徵值卻有可能的是相同的答:特徵值相同就是指特徵值的重數。例如矩陣a有3個特徵值1,3,3, 如果對應於特徵值3有2個線性無關的特徵向量,即矩陣多項式|3e—a|=0有2個線性無關的解,即 r(3e—a)=1,則矩陣a可以相似對角化。
另外,如果a是對稱矩陣,則對應於a的不同特徵值的特徵向量不僅線性無關,更是正交的。建議:多看看教材,我用的是同濟的線代書,講義用的是李永樂的。
不要意思,獻醜了,不知你滿不滿意,呵呵!
10樓:世潔漢黛
用數學歸納法
只有一個特徵值時,因特徵向量非0,所以無關。
設k-1個不同的特徵值對應的特徵向量無關
則k個時,作線性組合為0向量,此式記為1
兩邊左乘a即和特徵值聯絡,此式記為2
1式兩邊乘第k個特徵值,此式記為3
3-2即消去第k個特徵向量,由歸納假設,k-1個特徵向量無關,即得1式中的組合係數都為0得證。
矩陣的不同特徵值的特徵向量之間是線性無關的嗎
是的,這是一個定理 矩陣的不同特徵值的特徵向量線性無關.準確的理解是 對每個不同特徵值各取一個特徵向量組成向量組,則這個向量組線性無關.1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關 1 矩陣不同 的特徵值對應的特徵向量一定線性無關 證明如下 假設矩陣a...
特徵值特徵向量最後得出,特徵值特徵向量最後得出p1Ap的時候是關於特徵向量的一個矩陣可矩陣裡的特徵值得出結果唯一嗎
特徵抄值是唯一的,特襲 徵向量不唯一 特徵向量與bai任何不等du於0的數相乘得到zhi的仍是對應同一特徵dao值的特徵向量 由特徵向量組成p時可以由不同的方法,如你所說,0,1,4或4,1,0 但總之與特徵向量要對應。如果你知道a,p,你想知道對應的特徵值 這個特徵值不是你求出的,而是通過什麼途徑...
線性代數特徵方程的特徵值和特徵向量怎麼求呀，我只會列出來特徵方程det 入E A 的行列式，後面就
就是求出特徵方程的根即為特徵值 這是基本功，最好自己多動手算算，行列式麼，計算是有一定技巧，不過也不是無章可循，多找幾道題算算，只要會算行列式，特徵向量應該不是什麼難事！線性代數，求特徵值和特徵向量 特徵值 2，3，3，特徵向量 1 0 1 t 3 0 2 t。解 e a 1 1 3 0 3 0 2...