1樓：匿名使用者
1 0 -1
0 1 0
0 0 0
非零行的首非零元所在列對應的未知量是約束變數, 這裡即 x1,x2其餘變數為自由未知量, 這裡是 x3
行簡化梯矩陣對應同解方程組:
x1 = x3
x2 = 0
令自由未知量x3=1所得的解就是基礎解系, 即 (1, 0, 1)'.
事實上, 當只有一個自由未知量時, 可令它取任一個非零的數, 所得的解都是基礎解系.
比如 x3=-1時, 基礎解係為 (-1,0,-1).
滿意請採納^_^
2樓：深院鎖寂寞梧桐
矩陣求特徵值與特徵向量的目的是把矩陣對角化，也就是把ax換成簡單的 λx，為以後課程應用打基礎。而ax=λx就是（a-λe）x=o，要求這個齊次線性方程組的非零解，必須要求（a-λe）的行列式為零；因此可以得到λ值。目的是求x（也就是特徵向量p），所以又把λ帶回到方程組中求解。
基礎解系是線性無關的向量組。你給出的0 1 0相當於方程x2=0，矩陣的秩為1，有2個線性無關的解，p1=1 0 0 ，p2=0 0 1
線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量？
3樓：曾經的一隻豬
特徵值與特徵向量是線性代數的核心也是難點，在機器學習演算法中應用十分廣泛。要求線性代數中的特徵值和特徵向量，就要先弄清楚定義：
設 a 是 n 階矩陣，如果存在一個數 λ 及非零的 n 維列向量 α ，使得aα=λαaα=λα成立，則稱 λ 是矩陣 a 的一個特徵值，稱非零向量 α 是矩陣 a 屬於特徵值 λ 的一個特徵向量。
觀察這個定義可以發現，特徵值是一個數，特徵向量是一個列向量，一個矩陣乘以一個向量就等於一個數乘以一個向量。
線性代數特徵值和特徵向量
4樓：合興銳乙
線性代復
數是數學的一個分支，它
制的研bai
究物件是向量，向量du空間（或稱線性空間zhi），線性dao變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
設a為n階矩陣，根據關係式ax=λx，可寫出(λe-a)x=0，繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0，可求出矩陣a有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程(λie-a)x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。
5樓：李蕊智雲
λ|λ||λ
e-a|
=|λ-1
-1-3||0
λ-30|
|-2-2
λ||λe-a|
=(λ-3)*
|λ-1
-3||-2
λ||λe-a|
=(λ-3)(λ^2-λ-6)
=(λ+2)(λ-3)^2
特徵值專λ=
-2，3，
3對於屬λ=
-2，λe-a
=[-3
-1-3][0
-50]
[-2-2
-2]行初等變換為[1
11][0
10][0
20]行初等變換為[1
01][0
10][0
00]得特徵向量(10
-1)^t
對於重特徵值λ=
3，λe-a=[
2-1-3][00
0][-2
-23]
行初等變換為[2
-1-3][0
-30][0
00]行初等變換為[2
0-3][0
10][0
00]得特徵向量(30
2)^t.
線性代數 特徵值與特徵向量
6樓：匿名使用者
先說一下，這張不難，題目都比較固定。真正難的是向量，不過自考不怎麼考以這個題目為例：
先寫出特徵多項式，然後求特徵值，這一段你都會了然後就是回到上一步，就是你求特徵多項式的那步λ-1 3 -3
-3 λ+5 -3
-6 6 λ-4
把你求的特徵值，代掉裡面的λ，然後解這個矩陣方程就可以了
7樓：匿名使用者
把特徵值代入
求方程組(λe-a)x=0 的解呀
利用矩陣行變換 將λe-a變為約化行階梯型 寫出通解 就是特徵向量呀如λ3=4
3 3 -3 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 0 -1/2
-3 9 -3 → 1 -3 1 → 0 -4 2 → 0 1 -1/2→ 0 1 -1/2
-6 6 0 1 -1 0 0 -2 1 0 0 0 0 0 0
特徵向量為k(1,1,2)'
線性代數，求特徵值和特徵向量
8樓：dear豆小姐
||特徵值 λ = -2， 3， 3，特徵向量
： (1 0 -1)^t、(3 0 2)^t。
解：|λe-a| =
|λ-1 -1 -3|
| 0 λ-3 0|
|-2 -2 λ|
|λe-a| = (λ-3)*
|λ-1 -3|
|-2 λ|
|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特徵值 λ = -2， 3， 3
對於 λ = -2， λe-a =
[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]
行初等變換為
[ 1 1 1]
[ 0 1 0]
[ 0 2 0]
行初等變換為
[ 1 0 1]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (1 0 -1)^t。
對於重特徵值 λ = 3， λe-a =
[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]
行初等變換為
[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]
行初等變換為
[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (3 0 2)^t。
答：特徵值 λ = -2， 3， 3，特徵向量： (1 0 -1)^t、(3 0 2)^t。
擴充套件資料
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用
設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
9樓：匿名使用者
|a-λ
e| =
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ
r1-r2
-1-λ 1+λ 0
2 1-λ 3
3 3 6-λ
c2+c1
-1-λ 0 0
2 3-λ 3
3 6 6-λ
= (-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]= (-1-λ)[λ^2-9λ]
= λ(9-λ)(1+λ)
所以a的特徵值為 0, 9, -1
ax = 0 的基礎解係為: a1 = (1,1,-1)'
所以,a的屬於特徵值0的全部特徵向量為: c1(1,1,-1)', c1為非零常數.
(a-9e)x = 0 的基礎解係為: a2 = (1,1,2)'
所以,a的屬於特徵值9的全部特徵向量為: c2(1,1,2)', c2為非零常數.
(a+e)x = 0 的基礎解係為: a3 = (1,-1,0)'
所以,a的屬於特徵值-1的全部特徵向量為: c3(1,-1,0)', c3為非零常數.
10樓：匿名使用者
你好，滿意請採納哦！
|a-λe|=
2-λ 3 2
1 8-λ 2
-2 -14 -3-λ
= -(λ-1)(λ-3)^2=0
解得特徵值為1,3,3
1對應的特徵向量：
(a-e)x=0
係數矩陣：
1 3 2
1 7 2
-2 -14 -4
初等行變換結果是：
1 0 2
0 1 0
0 0 0
所以特徵向量是[-2 0 1]^t
3對應的特徵向量：
(a-3e)x=0
係數矩陣：
-1 3 2
1 5 2
-2 -14 -6
初等行變換結果是：
1 1 0
0 2 1
0 0 0
所以特徵向量是[1 -1 2]^t
11樓：
一個基本結論：
矩陣所有特徵值的和為主對角線上元素的和。
所以，兩個特徵值之和為
1+3=4
12樓：匿名使用者
λ||λ|λe-a| =
|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ||λe-a| = (λ-3)*
|λ-1 -3|
|-2 λ|
|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特徵值 λ = -2， 3， 3
對於 λ = -2， λe-a =
[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]
行初等變換為
[ 1 1 1][ 0 1 0][ 0 2 0]行初等變換為
[ 1 0 1][ 0 1 0][ 0 0 0]得特徵向量 (1 0 -1)^t對於重特徵值 λ = 3， λe-a =
[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]
行初等變換為
[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]
行初等變換為
[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (3 0 2)^t.
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