1樓：
重點：（1）拋物線的定義、標準方程及其幾何性質；
（2）直線與圓錐曲線的位置關係問題及直線與圓錐曲線相交所得弦的性質的**。
難點：（1）拋物線的標準方程的推導及其幾何性質的應用；
（2）直線與圓錐曲線相交所得弦的性質的**。
三. 知識分析
（一）拋物線
1、拋物線的定義：平面內與一個定點f和一條定直線l（fl）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。
說明與思考：
（1）該定義用符號表示為：（其中d＝|mn|表示點m到直線l的距離）
（2）同學們想一想，如果不強調「在平面內」，會得到什麼？
（3）如果定點f在直線l上，我們將得到什麼？（過f且垂直於l的直線）因此在定義中我們強調了「fl」。
（4）過f向l作垂線fk，與拋物線交於點o，研究一下f，o，k三點有什麼關係？
（5）根據作圖過程，思考一下直線fk與拋物線有什麼關係？
圖1（6）如圖2，在直線l上有一動點n，過n與l垂直的直線與線段nf的垂直平分線交於點m，請同學們研究一下，動點m的軌跡是什麼？（顯然，點m到直線l的距離等於|mf|，從而點m的軌跡是以f為焦點，直線l為準線的拋物線）
2、拋物線的標準方程
推導方法：求曲線方程的一般步驟。
建系：由定義可知直線kf是曲線的對稱軸；所以把kf作為x軸可以使方程不出現y的一次項。因為線段kf的中點適合條件，所以它在拋物線上。
因而以kf的中點為原點，就不會出現常數項。這樣建立座標系，得出的方程形式比較簡單。（如圖3）
圖3設標：設拋物線上動點m的座標為（x，y）
列關係：
寫方程：我們設焦點到準線的距離為|kf|=p（p>0），這樣p的集合意義也就明確了，於是我們順勢得出焦點f和準線。這樣，
，而我們就得到了方程：
化簡，整理：
說明：它表示焦點在x軸正半軸上，座標是，準線是的拋物線。
事實上，拋物線的焦點還可以在x軸的負半軸、y軸的正半軸、y軸的負半軸上，會得到不同形式的拋物線的標準方程。
3、設拋物線的焦點到準線的距離為p（p>0），它的標準方程的四種形式及幾何性質列表如下：
圖形標準
方程y2=2px
（p>0）
y2=－2px
（p>0）
x2=2py
（p>0）
x2=－2py
（p>0）
對稱軸x軸
y軸頂點
原點離心率
e=1（即所有的拋物線形狀都相同）
焦點座標
準線方程
4、幾個有用的結論：
（1）頂點在原點，對稱軸為座標軸的拋物線可設為y2=mx或x2=my。
（2）過拋物線的焦點且垂直於對稱軸的弦叫做拋物線的「通徑」，利用拋物線的定義我們可以得到：拋物線的通徑長等於其焦準距的2倍。如拋物線y2=2px（p>0）的通徑長等於2p。
（3）設直線l為拋物線y2=2px（p>0）過焦點的一條直線，且該直線與拋物線交於兩點m，n，則利用拋物線的定義我們也可以得到，其中分別表示點m，n的橫座標。
5、拋物線與雙曲線比較：
（1）從圓錐曲線的定義來看，雖然雙曲線與拋物線有其共同點，但由於比值e的取值不同，從而雙曲線與拋物線上的點的性質存在著差異；
（2）曲線的延伸趨勢不相同，當拋物線y2=2px（p>0）上的點趨於無窮遠時，它在這一點切線的斜率接近於x軸所在直線的斜率，也就是拋物線接近於與x軸平行；而雙曲線上的點趨近於無窮遠時，它的切線的斜率接近於它的漸近線的斜率；
（3）雙曲線有漸近線而拋物線沒有漸近線。
6、拋物線定義的應用
（1）判斷曲線型別
【例1】如圖4所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，點p是側面bb1c1c內一動點，若p到直線bc與直線c1d1的距離相等，則動點p的軌跡所在的曲線是（ ）
a. 圓 b. 橢圓 c. 雙曲線 d. 拋物線
解：由於d1c1⊥面bb1c1b，所以p到直線c1d1的距離等於p到點c1的距離。因此，「p到直線bc與直線c1d1的距離相等」實際上就是「p到定點c1的距離與到定直線bc的距離相等」。
由於點p、點c1及直線bc在同一平面bb1c1c內，所以點p的軌跡所在的曲線是拋物線，選d。
（2）求最值
由於拋物線上的點到焦點的距離等於到其準線的距離，因此，在解決有關拋物線的最值問題時，合理轉化，化折（線）為直（線），往往可以避繁就簡，快速求解。
【例2】若點a的座標為（3，2），f為拋物線的焦點，點p是拋物線上一動點，則|pa|+|pf|取得最小值時，點p的座標是（）
a.（0，0） b.（1，1） c.（2，2） d.（0.5，1）
解：如圖5，點a在拋物線內部。由拋物線的定義知：|pf|等於p到準線的距離。
圖5根據幾何關係易知|pa|+|pf|的最小值是由a點向拋物線的準線作垂線（b為垂足）時垂線段ab的長度。從而求得ab與拋物線的交點為（2，2），故選c。
【例3】已知拋物線x2=4y，點p是拋物線上的動點，點a的座標為（12，6），求點p到點a的距離與點p到x軸的距離之和的最小值。
解：如圖6所示，易判斷知點a在拋物線外側。
設p（x，y），則p到x軸的距離即為y的值。
設p到準線y=－1的距離為d，則y=d－1。
故|pa|+y=|pa|+|pf|－1。
由圖5可知，當a，p，f三點共線時，|pa|+|pf|取得最小值|fa|=13。故所求距離之和
的最小值為12。
（3）求軌跡方程
【例4】求圓心在拋物線y2=2x上且與x軸及拋物線的準線都相切的圓的方程。
解：如圖7，設圓心為p且a，f為切點，由|pa|=|pf|結合
拋物線的定義知f為拋物線的焦點，即f。
因此，p或p，從而圓的半徑r=1。
故所求圓的方程為：或
（4）求三角形的面積
【例5】設o為拋物線的頂點，f為拋物線的焦點且pq為過焦點的弦，若|of|=a，|pq|=b，求△opq的面積。
解：如圖8所示，由題意知拋物線的方程為y2=4ax（a>0），f（a，0），
設，由拋物線的定義知：所以由
故設過f的弦的斜率為k，則其方程為y=k（x－a）
將其與拋物線方程聯立知：ky2－4ay－4a2k=0
故若斜率不存在，則其兩個交點為（a，2a）與（a，－2a）
同樣有那麼
因此，7、與拋物線的弦有關的問題
常見的是求焦點弦（或非焦點弦）的弦長問題或弦中點軌跡問題。
【例6】斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點且與拋物線相交於兩點a，b，求線段ab的長。
解：方法一 由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的座標為f（1，0）
所以直線ab的方程為y=x－1，①
將方程①代入拋物線方程y2=4x，得（x－1）2=4x
化簡，得：x2－6x＋1=0
解之，得
將的值代入方程①，得
即a，b的座標分別為a（），b（）
∴方法二 如圖，由拋物線的定義可知
圖9∴ ②
由法一，可知
∴由韋達定理，得
代入②式，得
方法三 同法二，有
由弦長公式，得
點評：法一是求弦長一般方法，但運算量較大，並對含有字母的方程不好處理；法二是從拋物線的定義入手，是數形結合的典型應用；法三利用了弦長公式，避免了求交點座標，是求弦長的通解通法。
【例7】已知拋物線y2=2x，過點q（2，1）作一條直線交拋物線於a、b兩點，試求弦ab中點的軌跡方程。
解：方法一 設ab中點為m，並設a、b、m點座標分別為（）（）（x，y）
根據題意有③④
⑤④代入①－②，得
∵ ⑥
⑥代入⑤，得，即
⑦若，此時ab的中點為（2，0），（2，0）也在拋物線⑦上
∴所求拋物線方程為
方法二 設ab的中點為m（x，y）、a（x＋△x，y＋△y）、b（x－△x，y－△y）
則 ①②③
其中△x≠0，①－②得
又△x≠0
∴（以下同解法一）
方法三 設過q（2，1）的任意一條弦ab的方程為 ①
①與聯立，消去x
得 ②
方程②的兩個根y1、y2分別是弦ab兩個端點a、b的縱座標
由韋達定理可得
設ab的中點m（x，y），則有 ③
③代入①，整理得
若k不存在時，ab中點為（2，0）
（以下同解法一）
點評：本題上面給出的三種解法，都是解此類問題具有共性的方法，不管是哪一種方法都與a（x1，y1），b（x2，y2），m（x，y），q（2，1）點的座標有關，並且都直接或間接的利用瞭如下的關係：
從以上式子中消去引數得到f（x，y）=0，即為所求的軌跡方程。
（二）直線與圓錐曲線
1、直線與圓錐曲線的位置關係
（1）從幾何角度看，可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異的公共點，具體如下：
①直線與圓錐曲線的相離關係，常通過求二次曲線上的點到已到直線的距離的最大值或最小值來解決。
②直線與圓錐曲線僅有一個公共點，對於圓或橢圓，表示直線與其相切；對於雙曲線，表示與相切或與雙曲線的漸近線平行；對於拋物線，表示直線與其相切或直線與其對稱軸平行。
③直線與圓錐曲線有兩個相異的公共點，表示直線與圓錐曲線相割，此時直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。
（2）從代數角度看，可通過將表示直線的方程，代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷。
直線l方程為ax+by+c=0，圓錐曲線方程f（x，y）=0
由消元（x或y），如消去y後得：ax2＋bx＋c=0
若f（x，y）=0表示橢圓，上述方程中a≠0。為此有：
①若a=0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行（或重合）。
②若a≠0，設△=b2－4ac
直線與圓錐曲線的位置關係重點是相交：相交聯立方程組有兩組不等的實數解二次方程有兩個不等實數解判別式大於零。
2、直線與圓錐曲線相交的弦長公式
對於求一般弦長可以用以下求法：
求弦長兩交點間的距離
弦長：（直線與圓錐曲線相交於a（x1，y1），b（x2，y2），直線斜率為k）
（1）一般弦長公式。
（2）若弦過焦點：可用焦半徑公式來表示弦長，簡化運算．
如橢圓（a＞b＞0）：
如拋物線y2=2px（p>0）：
【典型例題】
例1. 已知橢圓與一直線相交於a、b兩點，弦ab的中點座標為m（1，1），求直線ab的方程。
分析：本題可設出直線的方程，然後建立方程組，消去y後得到一元二次方程，利用韋達定理來求解；也可通過設出a、b兩點座標代入橢圓方程中，作差整理，利用弦的中點座標與直線ab的關係來解決。
解法一：設通過m（1，1）的直線ab的方程為：
代入橢圓方程，整理得：
設a、b的橫座標分別為，則
解得故ab方程為
解法二：設a（），b（），代入橢圓方程：
兩式相減得：
變形得由於ab中點m的座標為（1，1）∴∴
即直線ab的斜率
∴直線ab的方程為：
即例2. 過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的弦ab，求：
（1）弦ab的長；
（2）△的周長（f2為雙曲線的右焦點）。
分析：（1）利用弦長公式。
（2）求△f2ab的周長，充分利用雙曲線的定義。
解：（1）雙曲線的左焦點f1（－2，0），右焦點f2（2，0）
直線ab的方程為：，代入雙曲線方程
整理得：
設a（）、b（）則∴
（2）雙曲線右準線方程，設a（）、b（）
a到準線的距離為d則∴
同理∴△
例3. 拋物線方程為，直線與x軸的交點在拋物線的準線的右邊。
（1）求證：直線與拋物線總有兩個交點；
（2）設直線與拋物線的交點為q、r，oq⊥or，求p關於m的函式f（m）的表示式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線焦點f到直線的距離為，求此直線的方程。
分析：本題綜合運用了拋物線的性質與方程，拋物線與直線的位置關係，點到直線的距離，函式與方程的有關知識及綜合解決問題的能力。
（1）證明：拋物線的準線方程是，直線與x軸的交點為（m，0），由題設交點在準線右邊，得。
由而判別式
又p>0及，可知△>0
因此，直線與拋物線總有兩個交點
（2）解：設q、r兩點的座標分別為（）、（）
由（1）知，的兩根
∴由oq⊥or，得
又q、r為直線x+y=m上的點
因而於是∴由
（3）解：由於拋物線的焦點f座標為（），於是有
又∵解得
但m≠0且，因而捨去
故所求直線方程為
例4. 已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是f（－m，0）（m為大於0的常數）。
（1）求橢圓的方程；
（2）設q是橢圓上一點，且過點f、q的直線l與y軸交於點m，若，求直線l的斜率。
分析：本題利用了直線、橢圓，定比分點的有關知識，第（1）小題用待定係數法，第（2）小題要求考慮全面計算到位。
解：（1）設所求橢圓方程為：
由已知得：
所以故所求橢圓方程為：
（2）設q（），直線l：，則點m（0，km）
當時，由於f（－m，0），m（0，km）
由定比分點座標公式，得：
又點q在橢圓上，所以解得當
，於是故直線l的斜率為0或
【模擬試題】
1. 焦點為（0，）的拋物線的標準方程為（ ）
a. b.
c. d.
2. 若拋物線，經過點（－2，－4），則此拋物線的方程為（ ）
a. b.
c. d.
3. 已知拋物線，定點a（，1），動點p在拋物線上，則|pa|＋|pf|（f為拋物線的焦點）的最小值為（ ）
a. b. c. 1 d. 2
4. 圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸及該拋物線的準線都相切的圓的方程為（ ）
a. b.
c. d.
5. 對於拋物線上任一點q，點p（a，0）都滿足，則a的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
6. 過雙曲線的右焦點，作一條長為的弦ab（a、b均在雙曲線的右支上），則a、b兩點到雙曲線右準線的距離之和為（ ）
a. 8 b. c. d.
7. 與直線有且只有一個公共點的雙曲線方程一定不是（ ）
a. b.
c. d.
8. 過拋物線的焦點f作一直線交拋物線於p、q兩點，若線段pf與fq的長分別是p、q，則的值等於（ ）
a. b. c. 2a d.
9. 已知點a（－2，3）與拋物線的焦點的距離為5，則p=_______。
10. 頂點在原點，對稱軸為x軸，頂點到準線的距離為的拋物線的方程是___________。
11. 已知雙曲線中心在原點，一個焦點座標為f（，0），直線與其相交於m、n兩點，mn中點的橫座標為，則雙曲線的方程為______________。
12. 直線與拋物線僅有一個公共點，則a=______________。
13. 已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，求拋物線的標準方程。
*14. 若拋物線上有三點a（2，），b（，－4），c（6，），f為焦點，且|af|、|bf|、|cf|成等差數列，求p、的值。
15. 由點p（－2，0）向拋物線y2 = 4x引弦，求弦的中點的軌跡方程。
16. k為何值時，拋物線上總存在兩點，關於直線l：對稱？
17. 已知直線l：y=2x＋m，橢圓c：。
（1）當m為何值時，l與c有兩個不同的交點？沒有交點？
（2）當m為何值時，直線l被橢圓c所截得的弦長為？
18. 如圖，正方形abcd在直角座標系內，已知一邊ab在直線上，點c、d在拋物線上，求正方形的面積。慢慢看
已知拋物線定點在原點焦點在軸上拋物線上一
先用勾股定理，3，4，5。所以 a 2 p 3,再由拋物線性質，5 a p 2 討論就好了，算下來a 4,p 2,應該就是你要的答案了。這道題目主要考察我們對拋物線影象的理解，好了閒話不多說，開始解題了 順便說一下，你題目中打錯了一個字。不是定點，是頂點。首先寫出一個拋物線的公式y 2px 2,這個...
已知某直線與拋物線有兩個交點，求在拋物線上有一點與已知直線的兩條連線組成的三角形面積最大
這個bai題出的有問題，應該是這樣 du 一條直zhi線與拋物線有兩個交點，即將拋 dao物線分為兩個部分，內 求 在直線的容與拋物線頂點同側的拋物線上存在一點，這點與兩個交點組成的三角形的最大面積。這樣的題好作，思路是 根據已知條件求出直線的方程，根據這個方程就可以假設與這條直線平行的直線方程。當...
如圖，拋物線y ax2 bx c經過原點，與x軸相交於點E（8，0），拋物線的頂點A在第四象限，點A到x軸的距離AB
題目 如圖,拋物線y ax2 bx c與x軸交於兩點a 4,0 和b 1,0 與y軸交於點c 0,2 動點d沿 abc的邊ab以每秒2個單位長度的速度由起點a向終點b運動，過點d作x軸的垂線，交 abc的另一邊於點e，將 ade沿de摺疊，使點a落在點f處，設點d的運動時間為t秒。1 求拋物線的解析...