1樓：匿名使用者
證明: 設 k1α1+k2α2=0 (1)等式兩邊左乘a得 k1aα1+k2aα2=0由已知得 k1λ1α1+k2λ2α2=0 (2)λ1*(1) - (2)
k2(λ1-λ2)α2=0
因為α2是特徵向量, 故不等於0
所以 k2(λ1-λ2)=0
而 λ1,λ2是矩陣a的兩個不同的特徵值
所以 k2=0
代入(1)知k1=0.
故α1,α2線性無關
2樓：匿名使用者
定理：屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的
證明：對特徵值的個數做數學歸納法。由於特徵向量是不為零的，所以單個的特徵向量必然線性無關。現在設屬於k個不同特徵值的特徵向量線性無關，
我們證明屬於k+1個不同特徵值λ1,λ2,...,λ(k+1)的特徵向量ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)也線性無關。
假設有關係式a1ξ1+a2ξ2+...+akξk+a(k+1)ξ(k+1)=0（1）成立，等式兩端乘以λ(k+1)得：
a1λ(k+1)ξ1+a2λ(k+1)ξ2+...+akλ(k+1)ξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（2）
（1）式兩端同時作用a，即有
a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+...+akλkξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（3）
（3）減去（2）得到
a1(λ1-λ(k+1))ξ1+...+a(k+1)(λk-λ(k+1))ξ(k+1)=0
根據歸納法假設，ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)線性無關，於是ai(λi-λ(k+1))=0,i=1,2,...,k.
但λi-λ(k+1)≠0(i≤k)，所以ai=0，i=1,2,...,k.
這時（1）式變為a(k+1)ξ(k+1)=0.又因為ξ(k+1)≠0，所以只有a(k+1).
這就證明了ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)線性無關。
什麼叫矩陣的特徵值什麼是矩陣的特徵值？
假設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax mx 成立，則稱 m 是矩陣a的一個特徵值。非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於 對應於 特徵值m的特徵向量，簡稱a的特徵向量 參考內容 http baike.baidu.item 矩陣特徵值 8309765?fr aladdin 非零...
矩陣的不同特徵值的特徵向量之間是線性無關的嗎
是的,這是一個定理 矩陣的不同特徵值的特徵向量線性無關.準確的理解是 對每個不同特徵值各取一個特徵向量組成向量組,則這個向量組線性無關.1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關 1 矩陣不同 的特徵值對應的特徵向量一定線性無關 證明如下 假設矩陣a...
矩陣特徵值都是唯一確定的嗎（我知道特徵值可以有很多，可以不同，我問的是所有特徵值是不是唯一一組
特徵值是特徵多項式的根，所以確定，是唯一一組 對應於特徵值的特徵向量可以有很多，可以不同，但最大線性無關組中所含向量的個數也是確定的。千萬不要弄混了 初等變換不改變矩陣的特徵值嗎 當這個矩陣已經確定，得到的特徵值就是唯一確定的。從求特徵值的過程中可以看出來 對應不同特徵值的特徵向量線性無關。特徵值是...