1樓：電燈劍客
子方陣的特徵值的模不超過其最大奇異值, 而子矩陣的最大奇異值又不超過原矩陣的最大奇異值, 再由實正交陣的所有奇異值都是1即得結論.
線性代數中怎麼證明正交矩陣的特徵值是1或者-1？
2樓：匿名使用者
首先要明白矩陣的基本知識：
若矩陣a的特徵值為λ,則a的轉置的特徵值也為λ，而a的逆的特徵值為1/λ.
對於正交矩陣來說，矩陣的轉置即為矩陣的逆，即：
λ=1/λ,所以：λ=1或-1.
3樓：匿名使用者
正交矩陣的行列式值等於1或負1
還有一個性質就只正交矩陣所有的行向量，列向量他的模等於1
設u是一個正交矩陣,證明u的特徵根的模等於1
4樓：電燈劍客
前提是u是實正交陣
直接按定義，ux=λx => x^h x = (ux)^h (ux)= |λ|^2 (x^h x)
證明任何正交矩陣的實特徵值要麼是1要麼是-1
5樓：匿名使用者
樓上回答基bai本正確，不過存在一個du小問題：
a(t)的特徵
zhi值為daoλ內(n)
a(-1)的特徵值為1/λ(n)
因為a(t)=a(-1)
所以λ(n)=1/λ(n)。這步是容不嚴密的。
兩個矩陣相等只能得到他們特徵值構成的集合是相等的，而不是每個對應的特徵值是相等的。
可以這麼證：
設x於b分別是a的特徵向量與特徵值，那麼ax=bx，在上式兩邊同時左乘a'(a的轉置)，那麼有x=ix=a'ax=a(bx)=b(bx)=b^2 x
從而b^2 = 1，b=正負1。
6樓：匿名使用者
設矩陣為a(ij)
由於bai是正交矩陣aa(t)=i
所以a(t)=a(-1) ((t)為矩du陣轉置，(-1)為矩陣的逆zhi
設a的特徵
dao值為
版λ(n),則權a(t)的特徵值為λ(n)a(-1)的特徵值為1/λ(n)
因為a(t)=a(-1) λ(n)=1/λ(n)λ(n)^2=1
λ(n)要麼是1，要麼是-1
求大家幫我解個題目。證明正交實矩陣a的特徵值為1或-1.謝謝大家給個詳細的解析，求大家了！！ 15
7樓：匿名使用者
證: 設a是正交矩陣, λ是a的特徵值, α是a的屬於λ的特徵向量則 a^ta = e (e單位矩陣), aα版=λα, α≠0考慮向量λα與λα的內權積.
一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).
另一方面,
(λα,λα) = (aα,aα) = (aα)^t(aα) = α^ta^taα
= α^tα = (α,α).
所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
又因為 α≠0, 所以 (α,α)>0.
所以 λ^2 = 1.
所以 λ = ±1.
8樓：電燈劍客
注意copy，這個結論是錯的，也算比較常見的錯誤了反例很多，比如說
a=cost sint
-sint cost
只要sint非零a就沒有實特徵值，根本談不上1或-1命題可以簡單修正成
實正交陣的實特徵值只能是1或-1
正交陣的行列式只能是1或-1
事實上實正交陣的特徵值在單位圓周上，共軛虛根成對出現並且反過來只要同時滿足以上兩條的任何有限個複數就一定可以作為某個實正交陣的特徵值
9樓：李墨明
如果它有實的特徵值，那麼必為+-1
但是正交實矩陣有可能特徵值全為複數
設a為正交陣，且〔a〕=-1，證明b=-1是a的特徵值 10
10樓：匿名使用者
a正交，則a的特徵值的模是1又deta=－1=所有特徵值的乘積，共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是－1。
設a的特徵值為λ，有aα = λα (α≠0)，(a^t)a=e
等式左邊乘於a的轉置a^t，右邊乘於α ^t，得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t)，取行列式得：
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|，又|a^t|=deta=-1，故λ=-1
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
擴充套件資料
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱，也不一定可以對角化。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t)，換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1，正1是叫第一類，負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的，只是滿足a'=a=a^，例如副對角線全為1，其餘元素都為零的那個方陣就是這種型別。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣，但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每一個行(列)向量都是模為1的，並且任意兩個行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量組成r^n的一組標準正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1，如果有一個元素為1，那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、一個對稱矩陣，如果它的特徵值都為1或者-1，那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是一個n維單位實列向量，則e_n-2bb'是一個對稱正交矩陣.因為e_n-2bb'的特徵值為1(n-1重)，-1(1重)，同時還是一個對陣矩陣。
11樓：小鑫沒了蠟筆了
先證明因為a為正交矩陣，a的特徵值為-1或1，設λ是正交矩陣a的特徵值，x是a的屬於特徵值λ的特徵向量，即有ax=入x，且x≠0.兩邊取轉置得x^ta^t=入x^t所以x^ta^tax=入^2x^tx，因為a是正交矩陣所以a^ta=e，所以x^tx=入^2x^tx，由x≠0知x^tx是一個非零的數，故入^2=1，所以入=1或-1。
因為a等於所有特徵值之積，又|a|=-1，所以必有奇數個特徵值為-1，即=-1是a的特徵值。
12樓：隰紫雲的紫竹苑
^|||a為正交陣,即a^t a=e，設a的轉置為a'
有 | e + a | = | a'a + a |= |a|| a' +e|
=-| (a + e)' |
=-| e + a |
所以 | e + a | = 0
就是說 | a - （-e）| =0
這就說明-1是他的一個特徵根
13樓：賈元牧慈
因為特徵值都大於零所以a的行列式deta=1,所以a*=deta*(a^-1)=a^-1=a^t
這個矩陣的特徵值和特徵向量怎麼求
a e 1 23 21 33 36 r1 r2 1 1 0 21 33 36 c2 c1 1 00 23 33 66 1 3 6 18 1 2 9 9 1 所a特徵值專 0,9,1ax 0 基礎解系 1,1,1 所,a屬於特徵值0全部特徵向量 c1 1,1,1 c1非零數屬.a 9e x 0 基礎解...
怎麼用matlab求矩陣的特徵值和特徵向量
用 d,v eig a 就可以瞭如 a 1,2 3,4 a 1 2 3 4 d,v eig a d 4216 5113 250 601671 1186 1736 1909v 736 1977 00 1977 368 v 中是 特徵值,d中是對應內 的特徵向量容 matlab怎麼計算矩陣的特徵值和特徵...
不同特徵值的特徵向量線性無關,怎麼證明
設ai是 baii的特徵向量 dui 1,2,m 且i不等於j時,i不等於 zhij 設他們的一個dao線性表示 k1a1 k2a2 kmam 0 用a左乘得 版 a k1a1 k2a2 kmam 權 0 因為aai iai,得 1k1a1 2k2a2 mkmam 0 再乘a,多次乘。1 2k1a1...