1樓：匿名使用者
α1,α2,…αn線性無關,對任向量x
設x=t1 *α1+t2 *α2…+tn *αn它們組成的方程組的係數行列式不為0
故方程組有唯一解
任一n維向量可由它們表示
故它們可以線性表示單位向量
故與單位向量組等價
2樓：匿名使用者
證明 必要性
設a為任一n維向量
因為a1 a2 …… an線性無關而a1 a2 …… an a是n+1個n維向量是線性相關的
所以a能由a1 a2 …… an線性表示且表示式是唯一的
充分性 已知任一n維向量都可由a1 a2 …… an線性表示,
故單位座標向量組e1 e2 …… en能由a1 a2 …… an線性表示,
於是有n=r(e1 e2 …… en)≤r(a1 a2 …… an)≤n
即r(a1 a2 …… an)=n所以a1 a2 …… an線性無關
n維向量組a線性無關的充分必要條件是r（a）=n嗎
3樓：辛旻劉子蕙
α1,α2,…αn線性無關,對任向量x
設x=t1
*α1+t2
*α2…+tn
*αn它們組成的方程組的係數行列式不為0
故方程組有唯一解
任一n維向量可由它們表示
故它們可以線性表示單位向量
故與單位向量組等價
4樓：
證明必要性
設a為任一n維向量
因為a1
a2……
an線性無關
而a1a2
……an
a是n+1個n維向量
是線性相關的
所以a能由a1
a2……
an線性表示
且表示式是唯一的
充分性已知任一n維向量都可由a1
a2……
an線性表示,
故單位座標向量組e1
e2……
en能由a1
a2……
an線性表示,
於是有n=r(e1
e2……
en)≤r(a1
a2……
an)≤n
即r(a1
a2……
an)=n
所以a1
a2……
an線性無關
a1,a2,…an是一組n維向量，證明：它們線性無關的充分必要條件是任一n維
5樓：匿名使用者
證明：充分性：若任一n維向量a都可以n維向量組a1,a2,…,an線性
表示,那麼,特別地,n維單位座標向量組也都可以由它們線性表示,又向量組a1,a2,…,an也可由n維單位座標向量線性表示,所以,向量組a1,a2,…,an與n維單位座標向量組等價,而n維單位座標向量組是線性無關組,
從而向量組a1,a2,…,an也是線性無關組.
必要性 若n維向量組a1,a2,…,an線性無關,又任意n+1個n維向量必線性相關,
設a是任一n維向量,則向量組a,a1,a2,…,an線性相關,故a可以由a1,a2,…,an線性表示.
6樓：宮爆白丁
證明 必要性
設a為任一n維向量
因為a1 a2 …… an線性無關而a1 a2 …… an a是n+1個n維向量是線性相關的
所以a能由a1 a2 …… an線性表示且表示式是唯一的
充分性 已知任一n維向量都可由a1 a2 …… an線性表示,
故單位座標向量組e1 e2 …… en能由a1 a2 …… an線性表示,
於是有n=r(e1 e2 …… en)≤r(a1 a2 …… an)≤n
即r(a1 a2 …… an)=n所以a1 a2 …… an線性無關
證明：n維向量組a1,a2.....an線性無關的充分必要條件是任意n維向量都可以表示為a1,a2....an的線性組合。
7樓：匿名使用者
必要性:
a1,a2,...an線性無關
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 對任一n維向量b, (a1,a2,...an)x = b 有解=> 任一n維向量b都可被a1,a2,...an線性表示充分性:
因為任一n維向量都可被a1,a2,...an線性表示所以n維基本向量組ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an線性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 線性無關.
8樓：匿名使用者
先證必要性（前推後），因為任意n+1個n維向量必線性相關。所以任意向量b與a1...an相關。
存在不完全為0的n+1個數k1...kn,kn+1.使得k1*a1+...
kn*an+kn+1*b=0；若kn+1=0，a1...an相關，矛盾，所以kn+1不等於0.即b可以被a1...
an線性表出。即表示維a1...an德線性組合。
充分性，n維單位向量e1...en可以被a1...an線性表出。
a1...an也可以被e1...en線性表出。
所以他們等價。所以a1...an的秩為n。
所以a1...an線性無關。證畢。
9樓：匿名使用者
證明 必要性
設a為任一n維向量
因為a1 a2 ……an線性無關
而a1a2 ……ana是n+1個n維向量
是線性相關的
所以a能由a1· a2······an線性表示且表示式是唯一的
充分性 已知任一n維向量都可由a1 a2……an線性表示,故單位座標向量組e1e2……en能由a1a2 …… an線性表示,於是有n=r(e1e2……en)≤r(a1a 2…… an)≤n即r(a1 a2…… an)=n
所以a1 a2 …… an線性無關
山財的吧。。。。
自己做，小心給你零分
線性代數證明題，證明n維向量組α1，α2，……αn線性無關的充分必要條件是，任一n維向量α都可以由
10樓：數學好玩啊
證明：1）充bai
分性顯然，因為
dun+1個n維向量必定線性
相關zhi，所以daoa可由a1,a2,……,an線性表示版2）必要性：因為權a是任意n維向量，所以a可由a1,a2,……,an線性表示意味著a1,a2,……,an能表出整個n維空間。若a1,a2,……,an線性相關，則極大線性無關組個數少於n，所以n維空間可由少於n個向量線性表示，這與維數的定義矛盾。
11樓：匿名使用者
噗噗，上學期掛了，看見就噁心
證明：n維向量組a和b等價的充要條件是r(a)=r(a,b)=r(b) 5
12樓：匿名使用者
首先, b組可由a組線性表示的充分必要條件是 r(a)=r(a,b)這是因為a組的極大無關組也是組的極大無關組同理, a組或由b組線性表示的充分必要條件是 r(b)=r(a,b).
13樓：己智純留瑜
r(a）
表示a的極大線性無關組的中向量的個數
r(a,b)
表示向量組a和b組成一個大向量組的極大線性無關組中向量的個數r(a)=r(a,b)
的充要條件為向量組a,b等價
14樓：匿名使用者
r(a)=r(a,b)<=>b可由a線性表示；r(b)=r(a,b)<=>a可由b線性表示,故a~b。或
r(a)=r(a,b)=>組a與組(a,b)等價（組a與組(a,b)有相同的極大無關組），r(b)=r(a,b)=>組b與組(a,b)等價，故a~b.
15樓：
首先，我們要明確等價的涵義：
設有兩個向量組a和b，如果b中的每個向量都能有向量組a線性表示，則稱向量組b能由向量組a線性表示。如果向量組a與b能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價
其次，明確一個定理：
向量組b能由向量組a線性表示的充要條件是矩陣a的秩等於矩陣（a,b）的秩，即r(a)=r(a,b)
明白這兩條之後，，證明就很簡單了
因為向量組a可由向量組b線性表示，可得r(b)=r(b,a)向量組b可由向量組a線性表示，可得r(a)=r(a,b)r(b,a)=r(a,b)可證
證明n維向量α1，α2，……，αn線性無關的充分必要條件是任意n維向量都可以由它們線性表示 40
16樓：諾諾百科
α1,α2,…αn線性無關，對任向量x
設x=t1 *αdu1+t2 *α2…+tn *αn它們組成的方程組的係數行列式不為0
故方程組有唯一解
任一n維向量可由它們表示
故它們可以線性表示單位向量
故與單位向量組等價
例如：證明：
1、充分性顯然，因為n+1個n維向量必定線性相關，所以a可由a1,a2,……,an線性表示。
2、必要性：因shu為a是任意n維向量，所以a可由a1,a2,……,an線性表示意味著a1,a2,……,an能表出整個n維空間。若a1,a2,……,an線性相關，則極大線性無關組個數少於n，所以n維空間可由少於n個向量線性表示，這與維數的定義矛盾。
17樓：匿名使用者
=> n+1個n維向量線性相關
所以對任一個n維向量β, 向量組α1,...,αn,β線性相關所以β可由 α組線性表示
<= 由已知n維基本向量組可由α組線性表示所以 r(n維基本向量組)<=r(α組)
即有 r(α組)=n
18樓：
證明:若任意n維向量都可以由α1，α2，……，αn線性表示則單位矩陣e的列向量組也能由它們線性表示，於是存在c使得.e=（e1，e2，……，en）=（α1，α2，……，αn）c
則n=r(e)<=r(α1，α2，……，αn）待續
線性代數：n維向量組a1，a2，a3（n>3）線性無關的充要條件是？（附**，每個選項求解釋）
19樓：援手
顯然b是錯的，取平面上三個非零向量，它們是線性相關的。a可以取平面上兩兩不共線的三個向量，因此兩兩線性無關，但由於它們三個共面，因此線性相關。c只要也取a1,a2,a3,b都在一個平面上即可。
d中線性相關的定義是至少存在一個向量可以由其它的線性表示，反過來就是任何一個向量都不能由其它的線性表出的向量組線性無關，因此d正確。
問題是向量組a1a2am線性無關的充分必要條件是
注意 任意一個 每一個向量與其他向量無關,每兩個向量和其他向量無關,每n個向量之間也無關,可以推出整體無關。這裡是充要條件,所以要左推右也要能右推左,所以是向量組任意部分向量組線性無關,跟部分推整體沒關係 我也覺得不對,整體無關能推出部分無關,反過來部分無關不能退出整體無關,是個必要非充分條件 線性...
判定向量組線性相關還是線性無關，判斷向量組線性相關還是線性無關？
把向量組的各列向量拼成一個矩陣，求出矩陣的秩。若秩小於向量個數，則向量組線性相關 若秩等於向量個數，則向量組線性無關。判斷向量組線性相關還是線性無關？解 令x 1，1，3，1 y 3，1，2，4 z 2，2，7，1 0，0，0，0 有 x 3y 2z 0且x y 2z 0且3x 2y 7z 0且x ...
線性代數問題證明n維向量組a1 a2 an線性無關的充分
必要性因為bai任意n 1個 dun維向量一定線性相關，zhi設a是任意一個n維向dao量專，則向量組a,a1.a2 an必線性相關，又屬n維向量組a1.a2 an線性無關，a都可由他們線性表示。充分性若任一n維向量a都可由a1.a2 an線性表示，那麼，特別的，n維單位座標向量組也由他們線性表示。...