1樓：端木水蓉乾智
高等數學中的函式才能談到連續性與可導性。
下面說一元函式就是隻有乙個自變數那種。
比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)
先提下基本初等函式。
常值函式。冪函式。
指數函式。對數函式。
三角函式。反三角函式。
a基本初等函式複合而成的複合函式。
無論多麼複雜。
在它定義域上連續並可導！！
證明的時候：
比如要你證明該函式在x=a處連續。
那麼只需要。
lim(x趨近與a+,也就是右極限，右側的極限，加號表示大於a)f(x)=
lim(x趨近與a-,也就是左極限，左側的極限，減號表示小於於a)f(x)
lim(x趨近於a)=limf(a)(此處暗含函式本身必須在x=a處有定義。
否則直接判定他不連續，點都沒有還如何連續)
滿足上述12即可。
這很難麼？或者對於一元函式來講。
可導必連續。
可以先判定函式本身可導。
那麼他一定連續。
牢記：對於初等函式與初等函式的複合函式而言。
在定義域上。
既可導又連續。
比如你要證明y=f(x)在x=a處可導。
你先假設可導。
那麼有乙個導函式y'=f'(x)
判定導函式導函式y'=f'(x)是否可導可按上述方法。
一樣的。那麼只需要。
lim(x趨近與a+,也就是右極限，右側的極限，加號表示大於a)f'(x)=
lim(x趨近與a-,也就是左極限，左側的極限，減號表示小於於a)f'(x)
滿足上述1即可。
此處注意不需要導函式在x=a處有定義。
可以說比連續的判斷還要簡單。
b如果函式本身不是基本初等函式或其複合而成。
那麼就需要根據定義來。
同樣簡單。
2樓：桐魁毋晏
其實點和區間的情況本質上是一樣的。
乙個函式在某一區間上連續（可導）指的是該函式在此區間的任意一點上連續（可導）。
至於判斷在某一點上函式是否連續或可導，即判斷某個極限是否存在。
判斷函式f在點x0處是否連續，即判斷極限lim(x--x0)f(x)是否存在且等於f(x0)
判斷函式f在點x0處是否可導，即判斷極限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在。
例如函式f，在x不為0時，f(x)=xsin(1/x)；f(0)=0
在x=0處連續但不可導。
因lim(x--0)|f(x)|而lim(x--0)(f(x)-f(0))/x=lim(x--0)sin(1/x)不存在。
以上說明中lim(x--0)表x趨於0的極限，其他符號類似。
如何證明連續函式的可導性？
3樓：帳號已登出
1、證明函式在整個區間彎答內連續。（初等函式在定義域內是連續的）2、先用求導法則求導，確保導函式在整個區間內有意義。
3、端點和分段點用定義求導。
4、分段點要證明左右導數均存在且相等。
如果y在x=x0處左右導數分別存在且相等，則稱y在x=x[0]處可導。如果乙個函式在x0處可導，那麼它一定在x0處是連續函式。
函式的可導性與連續性的關係
4樓：阿宋社會生活說
函式的可導性與連續性的關係：可導一定連續，連續不一定可耐猜陪導。
連續是可導的必要條件，但不是充分條件，由可導可推出連續，由連續不可以推出可導。可以說：因為可導，所以連續。不能說：因兆核為連續，所以可導。
先看幾個定義：
1、連續點：如果函式在某一鄰域內有定義，且x->x0時limf(x)=f(x0)，就稱x0為f(x)的連續點。
2、乙個推論，即y=f(x)在x0處連續等價於y=f(x)在x0處既左連續又右連續，也等價於y=f(x)在x0處的左、右極限都等於f(x0)。
這就包括了函式連續必須同時滿足三個條件：
1、函式在x0 處有定義；
2、x-> x0時，limf(x)存在；
3、x-> x0時，limf(x)=f(x0)。
初等函式在其定義域內是連續的。
1、連續函式：函式f(x)在其定義域內的每一點都連續，則稱函式f(x)為連續函式。
2、連續性與可導性關係：連續是可導的必要條件，即函式可導必然連續；不連續必然不昌蠢可 導；連續不一定可導。典型例子：含尖點的連續函式。
5樓：乾萊資訊諮詢
1）函式的連續性定義有三個條件：
f(x)在x=x0點有定義；f(x)在x→x0時極限存在；極限值等於函式值。
此外，還有個命題，基本初等函式在其定義域中連續，初等函式在其定義區間中連續。
因此，判斷函式的連續性，一般先觀察函式是否為初等函式（由基本初等函式經過有限次四則運算以及複合而成的函式）,如果是，那麼在它的定義區間上的每一點都是連續的！
如果函式是個分段函碼旅數，那麼先考慮每個分段上的連續性，然後考慮分段點的連續性，採用的方法依據定義來判斷！
2）函式的可導性主要是考慮極限lim δy/δx=lim [f(x)-f(x0)]/x-x0)是否存在的問題。
對於基本初等函式，它們也都是在它的定義域中可導的。如果碰到分段函式，記得分段點的可導性一定要用定義來判斷！此外，對於一元函式來講，可導必連續，反之未必成立！
證明：函式的可導性與連續性的關係
6樓：張三**
給你講解一下函式可導性與連續性的關係：設函式y＝f（x）在x處可導，即lim(δx→迅陸運0)δy/δx＝f '（x）存在。由具有極限的函式與無窮小的關係知道δy/δx＝f '（x）＋α為任意小的正實數，可以理解α的極限為0,但α≠o）上式同時乘以δx,得δy＝f '（x）δx＋αδx由此可見，當δx→0時，δy→0.
這就是說，函式y＝f（x）在x處是連續的。所以，函悉大數y＝f（x）在x處可導，則函式y＝畝梁f（x）在x處必定連續。
7樓：孫廣平
高等數學中的函式才能談到連續性與可導性。
下面說一元函式就是隻有乙個自變數那種 比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)
先提下基本初等函式 ：常值函式 冪函式 指數函式 對數函式 三角函式 反三角函式。
a基本初等函式複合而成的複合函式 無論多麼複雜 在它定義域上連續並可導！！
證明的時候：
1】比如要你證明該函式在x=a處連續。
那麼只需要。
1 lim(x趨近與a+,也就是右極限，右側的極限，加號表示大於a)f(x)=
lim(x趨近與a-,也就是左極限，左側的極限，減號表示小於於a)f(x)
2 lim(x趨近於a)=limf(a)(此處暗含函式本身必須在x=a處有定義 否則直接判定他不連續，點都沒有還如何連續)
滿足上述1 2即可。
這很難麼？或者對於一元函式來講 可導必連續 可以先判定函式本身可導 那麼他一定連續。
牢記：對於初等函式與初等函式的複合函式而言 在定義域上 既可導又連續。
2】比如你要證明y=f(x)在x=a處可導。
你先假設可導 那麼有乙個導函式y'=f'(x)
判定導函式導函式y'=f'(x)是否可導可按上述方法 一樣的。
那麼只需要。
1 lim(x趨近與a+,也就是右極限，右側的極限，加號表示大於a)f'(x)=
lim(x趨近與a-,也就是左極限，左側的極限，減號表示小於於a)f'(x)
滿足上述1 即可 此處注意不需要導函式在x=a處有定義 可以說比連續的判斷還要簡單。
b 如果函式本身不是基本初等函式或其複合而成 那麼就需要根據定義來 同樣簡單。
8樓：網友
如何證明函式可導呢？函式的連續性和可導性，數學講解。
求連續性和可導性
9樓：風起時的悟
這是分段函式，f(x)在x=0連續，其實就是求x->0的極限，即lim(x->0)(1+x)^1/x ，高數有兩個重要極限，不需要證明，即可使用 ：
第乙個：x趨近於0時，sinx/x的極限為1 ；
第二個：n趨近於無窮大時，（1+1/n）的n次方的極限為e；
這樣解就很明顯了等於e，那麼k=e；
f'(x)求導見下圖：
10樓：苦爭春說健康
函式的連續性和可導性，函式的連續性問題！
怎樣證明函式在某點的連續性和可導性啊
證明可到,這點比連續。只要證明可到就行了。首先,用無窮大證明,在這點左邊無窮大有一個值,然後證明右邊無窮大有一個值。然後這兩個值相等就行了。它的函式圖象必須連續才行。連續性是要證明這個點處的值和它的左極限及右極限的值相等可導性是要證明這個點處函式連續,並且左導數和右導數存在且相等 又是數學問題,看來...
高數,關於函式可導性,高等數學函式的可導性
這裡來你這樣去理解 y u 當u趨近於源0的時候 這個不可導 不需要給你介紹了吧 你在看裡面 那個是無窮小乘以有界變數 你參考 x去理解就好了 還不理解這裡的x你給加上絕對值 這裡的導數不存在不是因為左右導數不一樣 是tan90的問題 我在提醒你一下 因為這裡的h x 並沒有交代你是什麼 x sin...
高等數學，有界性的證明題，高等數學，有界性的一個證明題。
方法一 用函式極限與數列極限的關係可以很容易說明結論 在x趨近於0 時不是無窮大 而函式是無窮大則可以說明函式無界 取xn 1 2n n為正整數，則n 時，xn 0 f xn 0，所以f x 不是x 0 時的無窮大 取yn 1 2n 2 n為正整數，則n 時，yn 0 f yn 2n 2 所以f x...