1樓:
解析函式是複函式,調和函式可看作是解析函式的實部或虛部代表的實二元函式,二者基本一一對應。從調和函式構造解析函式要求調和函式定義在單連通區域上,否則就對應的是一個復的多值函式了
2樓:匿名使用者
並列關係
解析函式是複函式,調和函式可看作是解析函式的實部或虛部代表的實二元函式,二者基本一一對應。從調和函式構造解析函式要求調和函式定義在單連通區域上,否則就對應的是一個復的多值函式了
解析函式與調和函式有什麼關係???
3樓:今夜憶子瞻
解析函式
analytic function
區域上處處可微分的複函式。17世紀,62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333238646434l.尤拉和j.
ler.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函式φ(x,y)與流函式ψ(x,y)有連續的偏導數,且滿足微分方程組,並指出f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)是可微函式,這一命題的逆命題也成立。柯西把區域上處處可微的複函式稱為單演函式,後人又把它們稱為全純函式、解析函式。
b.黎曼從這一定義出發對複函式的微分作了深入的研究,後來,就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程,或柯西-黎曼條件。k.
魏爾斯特拉斯將一個在圓盤上收斂的冪級數的和函式稱為解析函式,而區域上的解析函式是指在區域內每一小圓鄰域上都能表成冪級數的和的函式。關於解析函式的不同定義在20世紀初被證明是等價的。基於魏爾斯特拉斯的定義,區域上的解析函式可以看作是其內任一小圓鄰域上冪級數的解析開拓 ,關於解析開拓的一般定義是,f(z)與g(z)分別是d與d*上的解析函式,若déd* ,且在d*上f(z)=g(z)。
則稱f(z)是g(z)由d*到d的解析開拓 。解析開拓的概念可以推廣到這樣的情形 :f(z)與g(z)分別是兩個圓盤d1與d2上的冪級數,且d1∩d2≠ ,在d1∩d2上f(z)=g(z )則也稱f與g互為解析開拓,把可以互為解析開拓的( f(z),δ)的解析圓盤δ全連起來,作成一個鏈。
它們的並記作ω,得到了ω上的一個解析函式,稱它為魏爾斯特拉斯的完全解析函式,這裡可能出現這樣的情形,在連成一個鏈的圓盤中,有一些圓盤重疊在一起,但在這些重疊圓盤的每一個上的解析函式都是不一樣的,它們的每一個都稱為完全解析函式的分支。這樣的完全解析函式實際是一個多值函式。黎曼提出將多值解析函式中的那些重疊的圓盤看作是不同的「葉」,不使他們在求並的過程中只留下一個代表,於是形成了一種稱為黎曼面的幾何模型。
將多值函式看作是定義於其黎曼曲面上的解析函式,這樣多值解析函式變成了單值解析函式。
調和函式
如果二元函式f(x,y)在區域ω內有二階連續偏導數且滿足拉普拉斯方程,則稱f為區域ω中的調和函式.
廣義來講
在某區域中滿足拉普拉斯方程的函式。通常對函式本身還附加一些光滑性條件,例如有連續的一階和二階偏導數。當自變數為n個(從而區域是n維的)時,則稱它為n維調和函式。
例如,n=2時,調和函式u(x,y)在某平面區域內滿足方程
若所考慮的區域包含一個閉圓域,例如x+y≤r,則有下列關於調和函式的平均值公式:
即u(x,y)在圓心的值等於圓周上的積分平均值。
更一般地,圓內任何一點x=rcosφ,y=rsinφ(0≤r 形如上式右端的積分稱作泊松積分。 設u(x,y)為平面區域g中的調和函式,且在g的閉包上連續,則藉助於平均值公式可以證明,它不能在g 的內部取其最大值與最小值,除非它恆等於一常數。這就是調和函式的最大、最小值原理。 由泊松積分出發可解決下列狄利克雷問題:在區域g的邊界嬠g上給定一連續函式 ƒ(x,y),要求給出g中的調和函式u(x,y),使其在嬠g上取ƒ(x,y)的值,即 在g的邊界嬠g滿足一定的條件下,這個問題的解存在且惟一。 對於高維的調和函式,也有與上述類似的最大、最小值原理,平均值公式以及相應的狄利克雷問題解的存在和惟一性定理。 二維調和函式與解析函式論有著密切聯絡。在某區域內的調和函式一定是該區域內某解析函式(可能多值)的實部或虛部;反之,某區域內的解析函式其實部與虛部都是該區域內的調和函式,並稱其虛部為實部的共軛調和函式。用複數z=x+iy的記法,將u(x,y)寫成u(z),若u(z)在│z│ (0≤r 對於任何α,│α│ 泊松積分是近代複變函式論中一個重要的研究工具,由此出發,可得出函式論中一系列重要結果。 若u(x,y)滿足「重調和」方程 則稱u是重調和函式,它是數學物理方程理論中的一個重要函式類。調和函式和重調和函式,在力學和物理學中都有重要的應用。類似地也有高維的重調和函式。 由於拉普拉斯方程是橢圓型方程的一個特殊情況,故後者的解的一般性質也是調和函式的性質。 複變函式與積分變換 解析函式和調和函式的關係 如圖看不懂,求詳解 4樓:老伍 因為f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)即f(x,y)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)又f(0)=i,即是f(0,0)=i 於是f(0,0)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=ic=i所以c=1 於是f(x,y)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+1)設z=x+yi z3=x3+3x2yi+3x(yi)2+(yi)3=x3+3x2yi-3xy2-y3i 由f(x,y)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+1)=x3+3x2yi-3xy2-y3i+i 即f(z)=z3+i 共軛調和函式 一個全純函式的實數和虛數部分都是r上的調和函式，反過來說，對於一個調和函式u，總可以找到一個調和函式v，使得函式u iv是全純函式。這個函式v被稱為調和函式u的調和共軛函式 函式v在差一個常數的意義上是唯一定義的。這個結果在希爾伯特變換中有應用，也是數學分析中一個與奇異積分運算元有關的... 這是不需要通過式子copy來證明的。否則會陷入迴圈論證之中。先來看下面的說法 紅方框中說明,一個函式在某個區域解析的充要條件是它在這個區域內可導。當然這是上圖中的兩個定義所推匯出來的,具體的推導過程會涉及集合運算,而不會出現常規意義上的等式。然後回到要證明的問題。既然題目中說到了 解析函式的積分 那... ln x iy ln x iy iarg x iy ln x 2 y 2 1 2 iarg x iy 其中ln x 2 y 2 1 2 為主值，arg x iy 為幅角。arg x iy 的計算 以x為橫座標，y為縱座標畫複數座標系。當x 0,y 0時，複數對應的點在第一象限,arg x iy ar...什麼是共軛調和函式，實部是虛部的共軛調和函式嗎 書上先是寫不是，後面又補充為（似乎）是，我已暈
複變函式中為什麼解析函式的積分仍然是解析的
解析函式裡的初等函式問題（有高分）