1樓:q1292335420我
要證明by=bai0只有零解,只要證明dub的列向量組線
性無zhi關,也就是向量組dao
β內,β+α1,β+α2,...,β+αs線性容無關。
證明:設x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)=0,整理下是
(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)=0。 (1)
若x0+x1+x2+...+xs≠0,則β=-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs),是ax=0的解,即aβ=0,與已知矛盾。
所以x0+x1+x2+...+xs=0。 (2)
此時,(1)式變成x1α1+x2α2+...+xsαs=0。
因為α1,α2,...,αs是ax=0的基礎解系,是線性無關的,所以x1=x2=...=xs=0。
代入(2),x0=0。
所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)=0得出x0=x1=x2=...=xs=0。
所以向量組β,β+α1,β+α2,...,β+αs線性無關。
所以方程組by=0只有零解。
設向量組a1 a2 ...as為齊次線性方程組ax=0的一個基礎解系,aβ不等於0,證明線
2樓:匿名使用者
要證明baiby=0只有零解,只要證du明b的列
向量組線性無關zhi,也dao就是向量組β,專β+α1,β屬+α2,...,β+αs線性無關。
證明:設x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)=0,整理下是
(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)=0。 (1)
若x0+x1+x2+...+xs≠0,則β=-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs),是ax=0的解,即aβ=0,與已知矛盾。
所以x0+x1+x2+...+xs=0。 (2)
此時,(1)式變成x1α1+x2α2+...+xsαs=0。
因為α1,α2,...,αs是ax=0的基礎解系,是線性無關的,所以x1=x2=...=xs=0。
代入(2),x0=0。
所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)=0得出x0=x1=x2=...=xs=0。
所以向量組β,β+α1,β+α2,...,β+αs線性無關。
所以方程組by=0只有零解。
3樓:盦嶫
a1,a2,.....,as構成ax=0的基礎解系,故所有滿足方程的x都可以被其線性表示,則
в與a1,a2,....,as線性無關。故b中所有列向量皆線性無關,古只有零解。
齊次線性方程組基礎解系一定是線性無關嗎
4樓:熙苒
齊次線性方程組基礎解系是方程組解向量空間的極大無關組,當然是線性無關的
有可疑之處就是當方程只有零解時,即解空間只有一個向量----零向量時,此時沒有極大無關組,可認為不存在基礎解系
總的來說,只要有基礎解系,那麼它就是線性無關的。
η1,η2.ηk 是基礎解系.所以η1,η2.η**性無關.
(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)=(η0,η1,η2.ηk )
所以證明(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關也就是證明(η0,η1,η2.ηk )無關,
我們知道,如果a1,a2.an無關,而a1,a2.an,β相關,則β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反證法:設(η0,η1,η2.ηk )相關,又因為η1,η2.η**性無關.則η0可以由
η1,η2.η**性表示,且表示法唯一.
顯然,其次方程組ax=0的基礎解系,不一定能表示非其次方程組ax=b的特解.所以矛盾.
(假設非其次方程組一個特解為b,其次方程組通解為k1a1+k2a2,則非其次方程組的通解為
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,則通解可以化為k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,這其實是其次方程組ax=0的解,而不是非其次方程組ax=b的解)
則(η0,η1,η2.ηk )無關,則(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關.
性質1.齊次線性方程組的兩個解的和仍是齊次線性方程組的一組解。
2.齊次線性方程組的解的k倍仍然是齊次線性方程組的解。
3.齊次線性方程組的係數矩陣秩r(a)=n,方程組有唯一零解。
齊次線性方程組的係數矩陣秩r(a)4. n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其係數行列式為零。等價地,方程組有唯一的零解的充要條件是係數矩陣不為零。(克萊姆法則)
5樓:匿名使用者
基礎解系定義問題
齊次線性方程組基礎解系是方程組解向量空間的極大無關組,當然是線性無關的
有可疑之處就是當方程只有零解時,即解空間只有一個向量----零向量時,此時沒有極大無關組,可認為不存在基礎解系
總的來說,只要有基礎解系,那麼它就是線性無關的。
6樓:楊好巨蟹座
η1,η2.ηk 是基礎解系.所以η1,η2.η**性無關.
(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)=(η0,η1,η2.ηk )
所以證明(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關也就是證明(η0,η1,η2.ηk )無關,
我們知道,如果a1,a2.an無關,而a1,a2.an,β相關,則β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反證法:設(η0,η1,η2.ηk )相關,又因為η1,η2.η**性無關.則η0可以由
η1,η2.η**性表示,且表示法唯一.
顯然,其次方程組ax=0的基礎解系,不一定能表示非其次方程組ax=b的特解.所以矛盾.
(假設非其次方程組一個特解為b,其次方程組通解為k1a1+k2a2,則非其次方程組的通解為
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,則通解可以化為k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,這其實是其次方程組ax=0的解,而不是非其次方程組ax=b的解)
則(η0,η1,η2.ηk )無關,則(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關.
線代高手來,,為什麼網上都說非齊次線性方程組沒有基礎解系。。但是這n-r+1個無關的解向量又是什麼?
7樓:
雖然任意解都可以表示成這n-r+1個解向量的線性組合,但是這n-r+1個解向量的線性組合未必是方程組解,實際上只有k0+k1+...+kn-r = 1時才是方程的解.
在這個意義上這n-r+1個解向量與齊次線性方程組的基礎解系性質不同, 不能稱為基礎解系.
8樓:文森特丶丶
你只是舉出來了一個特例,而並不是每種情況都是 所以非齊次方程沒有基礎解析
9樓:匿名使用者
一組向量線性無關,不等於都加上一個向量也線性無關。例如(1.1)(0.1)(2.5)第一個行向量加到後面兩個行向量,線性相關,不加則線性無關。你的第一點就錯了
為什麼齊次線性方程組的基礎解系線性無關
10樓:嚴格文
這是定義。
非齊次線性方程組線性無關的解的個數和其對應的齊次線性方程組基礎解系的向量個數的關係是什麼?
11樓:匿名使用者
那個結論bai正確., 但你的推導有問du題.
ax=b 有3個線
zhi性無關的解daoa1,a2,a3,
則 a1-a3,a2-a3 是 ax=0 的線性無關的解所以回 n-r(a)=4-r(a) >=2所以 r(a)<=2.
只能得到這答個結論.
r(a)>=2 需要從已知條件中挖掘, 原題是什麼?
非齊次線性方程組的基礎解系,求解非齊次線性方程組的基礎解系和特解及通解怎麼算的,完全懵了
齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系。基礎解系是線性無關的,簡單的理解就是能夠用它的線性組合表示出該方程組的任意一組解 什麼是基礎解系,為什麼非齊次方程組沒有這種說法 基礎解系就是一個齊次線性方程組的解向量組的最大無關組,也就是說任何一個解向量都能用基礎解系線性表示。而非齊...
線性代數考研數學齊次線性方程組的基礎解系20題的第三問
不想拍照，有n個未bai 知數du，秩為1，所以基礎解析有n 1個線zhi性dao無關的向量。你可版以取x2 1,全部取x3,4,5,6.n 0,然後解出x1。這權樣就得到一個向量。再取x3 1,全部取x2,4,5,6.n 0，然後解出x1。這樣就得到第二個向量。最後取xn 1,全部取x2,3,4,...
線性代數，解齊次線性方程組，線性代數中，解齊次線性方程組和非齊次線性方程組有哪些方法？
2 3 1 5 3 1 2 7 4 1 3 6 1 2 4 7 第1行交換第4行 1 2 4 7 3 1 2 7 4 1 3 6 2 3 1 5 第2行,第3行,第4行,加上第1行 3,4,21 2 4 7 0 7 10 14 0 9 19 34 0 7 9 19 第1行,第3行,第4行,加上第2行...