1樓：寂寞的楓葉
解：令pn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n，qn=n+(n-1)+(n-2)+...
+3+2+1，那麼pn+qn=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+...+((n-2)+3)+((n-1)+2)+(n+1)
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)+(n+1)
=n*(n+1)
又pn=qn，那麼得，
2pn=n*(n+1)，所以
pn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=n*(n+1)/2
2樓：埋頭向前
高中數學等差數列的基本公式，解釋方法可以這樣理解1+ 2 + 3 + 4 +……+（n-3）+（n-2）+（n-1）+n 此式再倒過來寫一遍
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+ 4 + 3 + 2 +1
兩式是相等的，相加後得n*(n+1),所以單個式子就是n*(n+1)/2了
3樓：我不是他舅
令a=1+2+……+n
由加法交換律
a=n+……+2+1
相加a+a=(1+n)+(2+n-1)+……+(n-1+2)+(n+1)
2a=(n+1)+(n+1)+……+(n+1)一共n個括號
所以2a=n(n+1)
所以1+2+……+n=n(n+1)/2
4樓：1佐佐木小次郎
1+n=1+n,2+(n-1)=n+1,3+(n-2)=n+1，依次首尾相加都得n+1,共有二分之n對，故二分之n個n+1得二分之n乘以n+1
5樓：匿名使用者
1+2+3+...+(n-1)+n
因為：1+n=2+(n-2)=3+(n-2)....
這樣共有n/2組
所以：1+2+3+...+(n-1)+n
=(n+1)*n/2
1+2+3一直加到n 為啥能用公式（n+1)n/2表示 這是怎麼得出來的？？
6樓：欲說but還休
等差數列求和公式
不理解的話可以這樣想，假設兩個這樣的數列
1+ 2 + 3 +……+nn+(n-1)+(n-2)+……+1
上下分別相加，就是有n個(n+1)
因為有兩個數列，所以原數列的和就是要再除以2不知道你是多大的學生不知道能不能看懂
看不懂再問
7樓：率而率而
因為s=1+2+3+...+n,並且s=n+(n-1)+(n-2)+...+1,把這兩個等式左右分別相加可以得到：
2s=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1),其中等式右邊一共是n個（n+1)相加是很容易數出來的，所以得到 2s=n(n+1),於是s=n(n+1)/2.
1的平方加2的平方一直加到n的平方等於多少
8樓：千山鳥飛絕
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
證明過程：
根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有：
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.·
·a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
9樓：丙英萊念雙
n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多種，這裡就介紹一個我覺得很好玩的做法想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
10樓：匿名使用者
1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
證明如下：
（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×
1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
11樓：水和正瀧實
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：n^2=n的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6證法一（歸納猜想法）：
1、n＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝12、n＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝53、設n＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當n＝x＋1時，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證
12樓：心動
^1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展資料：
推導公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 寫出1到n－1的式子，將這n－1個式子疊加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不難得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
13樓：莫小雨威秉
^^利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
14樓：明凱無敵瞎
我來一個不同的：sn=1²+2²+3²+……+n²sn是一個
遞增函式，對sn求導=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一個二次函式型，所以大膽猜測sn是一個三次函式型，於是假設sn=an³+bn²+**+d，把s1=1，s2=5，s3=14，s4=30代入sn得出四個方程式，求出sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把s5代入驗證是正確的！但畢竟是猜的，所以要證明，證明方法如下：
當n=1時此等式成立，n=2時也成立。
假設當n=k時（n>1）也成立，即
sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需證明n=k+1時也成立即可，又sk+1-sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。
15樓：福波蔡幼萱
由1²+2²+3²+.+n²=n（
n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
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條件收斂 1 來n 自 n n 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 1 n 1 但 1 n 1 發散，故不絕對收斂 1 n n 1 單調遞減趨於0，且 n 1 1 n n n 1 為交錯級數 故級數 n 1 1 n n n 1 條件收斂 判斷級數 1 n n 2 1 n 是否收斂,若收斂,條件收...
從1加到2019等於多少,怎麼算
因為前面有負號,所以先算 1的2019次方,結果是 1,再來把前面的那個負號帶進去是 1 結果應該是1。等差數列求和公式 1 2019 x2019 2 2039190 1 2019 2020 2 2018 2020 2019除以2 1009.5 2020 1009.5 2039190 從1加到100...
從1加到100等於多少簡便方法，從1一直加到100有什麼簡便演算法
解題bai 思路 從1加到100的和可du以看作是一個公差zhi為1的等差數列，直接利用等dao差數列的公式 首項 末項專 項數屬 2可以很快得出答案。解題過程 sn 1 2 3 4 100 n a1 an 2 100 1 100 2 5050 得出結果，從1加到100的和等於5050。擴充套件資料...