1樓：良田圍
你質疑得很對，分析得也很有道理。
整體來說：
“二重積分的被積函式為常數時，代表的是積分割槽域的面積”
這句話是不對的！是不懂科學的數學老師才會信口而出的，
真正的科學教師，絕不會說出這麼糊里糊塗、無厘頭的話。
下面，我概括說一下：
1、因為是常數，既然是常數，就可以提取到積分符號外面；
2、一旦提取到積分符號外，那積分符號下的dxdy就是一個微元面積，
整個區域的積分就是總面積。
3、由於積分符號外有一個常數，當初積分符號下的常數，可能是沒有單位的
單純的數學常數，這個常數乘以dxdy，其意義就是面積的倍數；
4、如果這個常數是物理學、化學、天文學、地質學、、、等等的科學常數，
那積出後的面積再乘以常數，就不再是面積，而可能是有各種不同的含義：
例如1：體積。此時的常數就是物體的高度。這一點，樓主已經做出合理判斷。
例如2：質量。此時的常數就是質量面密度；
例如3：電量。此時的常數就是電荷面密度；
例如4：能量。此時的常數就是能量面密度；
例如5：通量。此時的常數就是通量密度，如電場強度、磁感應強度、引力強度等等。
類似的例子舉不勝舉，如果你的老師說是面積，那隻能說明他沒有科學底子，不懂科學。
沒有必要跟他們斤斤計較，這樣的糊里糊塗的數學教師汗牛充棟，你我回天無力。
至於 z = f(x, y) = constant 常數，那更好理解：
1、假如x、y不是真正的座標，而是抽象的變數，那 z = constant 可能是：
等溫過程、等壓過程、等容過程、、、、
2、假如x、y是真正的座標，也容易理解，這個 z = constant。
在數學上，這就是一個identity，就是一個恆等式。
例如 sin²x + cos²x = 1，這個恆等式跟x的取值無關；
又如 arcsin(x+y) + arccos(x+y) = ½π，這個恆等式跟x、y的取值無關可能是指：
在物理上，這就是一個conservation，是一個守恆定律。
例如：我們不考慮勢能時，我們有動能定理。
同樣我們不考慮動能時，我們也可以全用勢能表示，當然是在保守系中才行。
如有不明白，還有追問。
2樓：匿名使用者
首先糾正下說法，二重積分的被積函式為常數（1）時，僅僅是積分數值與積分割槽域面積值一樣，但對應的實際量綱單位是有區別的。具體說明如下：
1、被積函式既然是常數，資料自然不受積分割槽域影響，可將數值放到積分號外面；
2、數值提到積分符號外之後，對於dxdy這樣一個面積微元，積分運算下，結果就是整個區域的總面積；
3、積分號外的常數，可能是單純的數學常數無單位量綱，這個常數乘以dxdy，其數值就是面積的倍數，這裡僅僅是數值的一致；
4、若被積常數對應為具體的物理學、化學、天文學、地質學等的相關場景，結果就不是面積常數那麼簡單了。
不解之處請多追問
3樓：
不對吧，被積為1時才是面積吧。
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面積的定義是什麼？考慮過這個問題嗎？
4樓：偷猴子的桃
因為x是變數,y也是變數,在座標系裡面就是是個區域面積
二重積分被積函式是1為什麼代表求積分割槽域面積
5樓：匿名使用者
你要從二重積分積分的意義和本質上理解較為簡單。
給你個對二重積分本質的比較形象的理解，就是要充分理解這張圖。
向左轉|向右轉
z=f(x,y)就是積分函式，他是個由x,y共同決定的算式。
積分的過程就是：
把xoy這個平面，無限的分成一堆小區域（你可以理解為一堆小圓圈或者小方格），把每個小區域的面積，乘以這個小區域對應的f(x,y)。最後把這些值都加起來。
如果f(x,y)是個常數k呢，那麼結果就是：每個小區域的面積都乘以這個不變的常數，然後把他們加起來。這樣我們就可以把這個常數k提出來。
積分結果為：常數k*所有小面積的加和。
因為所有小面積的加和就是整個積分割槽域的面積，所以，積分結果就為：
整個積分割槽域面積的k倍。（你之前的描述是不準確的）
其實就是一個以整個積分割槽域為橫截面，高度為k的一個柱體的體積。（注意，從意義上說，二重積分積出來的都是體積，不是面積，只不過柱體的體積就等於面積的k倍）
這樣應該可以讓你從本質上，直觀的理解二重積分，也就知道了你問的那個問題了。
6樓：匿名使用者
二重積分的幾何意義一般
表示幾何圖形的體積 如果被積函式為1 那麼它所表示的為 以區域d為地面積 以高為1的幾何圖形的體積。體積在數值上等於區域d的表面積。所以當二重積分被積函式是1代表求積分割槽域面積
舉例 地面積為4 高為1的長方體 體積為4 在數值上等於底面積
7樓：路長順毋橋
積分割槽域不是積分面積。積分割槽域是指，x和y的範圍。但是二重積分求的是z。
由x和y共同決定的z。
二重積分積出來是體積。一重積分積出來才是面積。三重四重的看具體題目吧。至少在二維和三維座標表示不出來。
這樣說吧，比如一個柱形體，內部密度具有和幾何位置相關的密度函式（即每一點密度不是均等的，而是隨函式變化的）。那麼就要用到三重積分求重量了。明白啵？
計算二重積分時，如果被積函式是一個常數，那這個二重積分是不是就直接等於積分割槽域的面積？
8樓：
dσ始終是正的， dσ來自定義裡面的△σi 這是純粹意義上的面積，所以，始終是正的
9樓：柏文利
直接等於這個常數乘以積分割槽域面積
為什麼二重積分的被積函式為常數時，代表的是積分割槽域的面積
10樓：扯淡的哲人
你要從二重積分積分的意義和本質
上理解較為簡單。
給你個對二重積分本質的比較形象的理解，就是要充分理解這張圖。
z=f(x,y)就是積分函式，他是個由x,y共同決定的算式。
積分的過程就是：
把xoy這個平面，無限的分成一堆小區域（你可以理解為一堆小圓圈或者小方格），把每個小區域的面積，乘以這個小區域對應的f(x,y)。最後把這些值都加起來。
如果f(x,y)是個常數k呢，那麼結果就是：每個小區域的面積都乘以這個不變的常數，然後把他們加起來。這樣我們就可以把這個常數k提出來。
積分結果為：常數k*所有小面積的加和。
因為所有小面積的加和就是整個積分割槽域的面積，所以，積分結果就為：
整個積分割槽域面積的k倍。（你之前的描述是不準確的）
其實就是一個以整個積分割槽域為橫截面，高度為k的一個柱體的體積。（注意，從意義上說，二重積分積出來的都是體積，不是面積，只不過柱體的體積就等於面積的k倍）
這樣應該可以讓你從本質上，直觀的理解二重積分，也就知道了你問的那個問題了。
還有什麼想問的都可以追問，如果幫到您，敬請採納，謝謝~
11樓：華華華華華爾茲
二重積分的被積函式為常數時，代表的是積分割槽域的面積，這句話是不對的。
1、因為是常數，既然是常數，就可以提取到積分符號外面；
2、一旦提取到積分符號外，那積分符號下的dxdy就是一個微元面積，整個區域的積分就是總面積。
3、由於積分符號外有一個常數，當初積分符號下的常數，可能是沒有單位的 單純的數學常數，這個常數乘以dxdy，其意義就是面積的倍數。
4、假如x、y不是真正的座標，而是抽象的變數，那 z = constant 可能是：等溫過程、等壓過程、等容過程。
5、假如x、y是真正的座標，也容易理解，這個 z = constant。 在數學上，這就是一個identity，就是一個恆等式。 例如 sin²x + cos²x = 1，這個恆等式跟x的取值無關； 又如 arcsin(x+y) + arccos(x+y) = ½π，
這個恆等式跟x、y的取值無關可能是指：在物理上，這就是一個conservation，是一個守恆定律。
例如：不考慮勢能時，有動能定理。同樣不考慮動能時，也可以全用勢能表示，當然是在保守系中才行。
擴充套件資料：
幾何意義：在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
例如二重積分
其中表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積
數值意義：二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。如函式：
其積分割槽域d是由
所圍成的區域。
其中二重積分是一個常數，不妨設它為a。對等式兩端對d這個積分割槽域作二重定積分。
故這個函式的具體表示式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為a，而等式最左邊根據性質5，可化為常數a乘上積分割槽域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數a來求解。
二重積分被積函式和積分割槽域有什麼關係？
12樓：文子
系，就像一元積分中被積函式與積內分割槽間也容沒有直接關係一樣。
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限，本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積，當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
13樓：放下也發呆
函式的積分結果
跟被積函式和被積區域 這兩個都有關係
二重積分什麼時候可以直接表示區域面積？是被積函式是1的時候？
14樓：是你找到了我
二重積分被積函式等於1時，可以直接表示區域面積；是被積函式是1的時回候。因為二重積答分的面積微元dxdy就表示積分割槽域微元的面積，所以被積函式為1時，直接積分就得到總的面積。
二重積分的本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積；當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
15樓：匿名使用者
是的，二重積分被積函式等於1時，可以直接表示區域面積。
雖然還有其它情況二重積分值也可能會等於區域面積，但這不過是一種計算結果，而不能【直接】表示。
16樓：花開勿敗的雨季
因為二重來積分的面積微自元dxdy就表示積分割槽bai域微元的面積，那du麼直接積分就得到總的面zhi積dao，所以被積函式即為1.
類似地，一重定積分的微元為座標長度dx，為了求面積，還需要知道矩形微元的高，即f(x)，所以定積分求面積的被積函式是f(x)。
被積函式連續,他的二重積分大於零,為什麼
注意定積分 的性質 如果積分割槽域關於 x 0對稱,且被積函式關於x為奇函式,那 專麼積分等於屬0。對y同理。回到你的題目 f x y x是關於x的奇函式,積分割槽域d關於y軸即x 0對稱,所以積分等於0。至於這個性質的證明,分割槽間使用換元法即可。這句話錯的。舉個反例,被積函式為常數3,積分域為x...
二重積分證明題二重積分的證明題
4 先交換積分次序 再利用變上限積分求導湊微分 解出二重積分，得到等式成立 詳解如下 1 由於x 2 y 2對於x,y是偶函式，因此可將兩者的積分割槽域都擴充套件到全平面，此時新得到的兩個積分分別是原來的四倍。這一步沒有也沒關係，在第一象限可一樣考慮 2 此時第一個積分的積分割槽域是一個邊長為2a,...
利用二重積分的幾何意義計算二重積分a Sqrt x 2 y 2 ）d，D x 2 y 2 a 2,a》
由二重積分的幾何意義知所求積分是以d為底面，a x 2 y 2 為頂的立體的體積 z a x 2 y 2 表示的是以 0,0,a 為頂點的錐面 所以原積分 1 3 a 3 分成兩部分計算 b d 表示一個圓柱的體積，圓柱的底圓為x y a 高為b，因此體積為 a b x y d 表示一個圓柱中挖去一...