1樓：匿名使用者
有公式1的平方
copy+3的平方+5的平方一直加到n的平方等於n*(n+1)*(n+2)/6,最後結果為998*100*101/6=166650
第一種就是設一個三次函式，求出各項係數，得到如上公式第二種就用數學歸納法證明。
我想說的是 1的m次方+3的m次方+5的m次方一直加到n的m次方的結果總是一個最高次為m+1的多項式。
2樓：匿名使用者
^^s=n(n+1)(2n+1)/6
證明：復
利用恆等制式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
n=99帶入以上得：s=99*100*199/6=328350
3樓：匿名使用者
^^^1^來2+3^源2+5^2+......+99^2
第1項 n=1 (2n-1)^2 1^2
第2項 n=2 (2n-1)^2 3^2
第3項 n=3 (2n-1)^2 5^2
......
第50項 n=50 (2n-1)^2 99^2
當n=1~50時
∑(2n-1)^2 = 166650 (用計算機計算)
4樓：雪落為花
1²+2²+3²+...+99²
=99﹙2×99+1﹚﹙99+1﹚／6
=328350
1的平方加2的平方一直加到n的平方等於多少
5樓：千山鳥飛絕
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
證明過程：
根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有：
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.·
·a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
6樓：丙英萊念雙
n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多種，這裡就介紹一個我覺得很好玩的做法想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
7樓：匿名使用者
1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
證明如下：
（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×
1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
8樓：水和正瀧實
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：n^2=n的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6證法一（歸納猜想法）：
1、n＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝12、n＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝53、設n＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當n＝x＋1時，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證
9樓：心動
^1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展資料：
推導公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 寫出1到n－1的式子，將這n－1個式子疊加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不難得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
10樓：莫小雨威秉
^^利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
11樓：明凱無敵瞎
我來一個不同的：sn=1²+2²+3²+……+n²sn是一個
遞增函式，對sn求導=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一個二次函式型，所以大膽猜測sn是一個三次函式型，於是假設sn=an³+bn²+cn+d，把s1=1，s2=5，s3=14，s4=30代入sn得出四個方程式，求出sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把s5代入驗證是正確的！但畢竟是猜的，所以要證明，證明方法如下：
當n=1時此等式成立，n=2時也成立。
假設當n=k時（n>1）也成立，即
sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需證明n=k+1時也成立即可，又sk+1-sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。
12樓：福波蔡幼萱
由1²+2²+3²+.+n²=n（
n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
13樓：郭一甲
西遊記中的數學---1的平方加到n的平方
14樓：疏罡緒暖夢
等於六分之n(n+1)(2n+1)
15樓：曲湃成念寒
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
可以用數學歸納法證明
1平方加2平方一直加到n平方，結果用公式怎麼表示
平方和公式n n 1 2n 1 6 即1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 2n 1 6 注 n 2 n的平方 1 2 n n n 1 2n 1 6 n 1 3 n 3 3n 2 3n 12 3 1 3 3 1 2 3 1 13 3 2 3 3 2 2 3 2 14 3 3 3 3 3 2 3...
1的平方 2的平方 3的平方 4的平方n的平方這通項
1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 2n 1 6 當n 1時，1 2 1 1 1 2 1 6 1，成立。設當n k時，1 2 2 2 3 2 k 2 k k 1 2k 1 6成立。則當n k 1時，1 2 2 2 3 2 k 2 k k 1 2k 1 6 k 1 2 k 1 k 2k 1 6...
2的平方 1的平方4的平方 3的平方6的平方 3的平方2019的平方 2019的平方
那個推薦答案真搞笑。錯的這麼離譜的答案居然也被推薦，真是笑死人了。不會就不要亂答，這樣會害死人的。首先，樓主的問題都有錯誤了，6的平方 3的平方 那個3應該是5吧。而且最後的那一項絕對不會是2009的平方 2008的平方，看一下前面的規律就知道了，如果真的是有這一項的話，題目前面應該還有給2008的...